Főmenü megnyitása
Az háromelemű halmaz Hasse-diagramja. Erre a halmazra a Dirac-mérték a bal felső négyesre 1-et, a többi elemre 0-t ad eredményül.

A Dirac-mérték egy matematikai fogalom, ami nagyságot rendel egy halmaz részhalmazaihoz, annak függvényében, hogy egy meghatározott érték eleme-e vagy sem. Ennek révén lehet formalizálni a Dirac-delta függvényt, aminek fontos alkalmazásai vannak a modern fizikában és különféle mérnöki-technikai területeken.

Tartalomjegyzék

DefinícióSzerkesztés

Legyen   mérhető tér, és legyen  . Ekkor Dirac-mértéknek nevezzük a következő függvényt:

 

A Dirac-mérték egy valószínűségi mérték, az   mintatéren a majdnem biztosan bekövetkező   eseményt jellemzi. Úgy is tekinthetnénk, hogy egyetlen atom  -ben, azonban a Dirac-mérték atomi mértékként kezelése helytelen, mivel a Dirac-mérték egy delta-sorozat határértéke. Sokkal inkább kezelhető az   feletti valószínűségi mértékek konvex halmazának határpontjaként.

Maga a név a Dirac-féle δ-függvényre vezethető vissza. A Dirac mérték egyfajta Schwartz-eloszlásnak is tekinthető, például a valós számegyenesen. Ebben az esetben

 ,

vagy más formában

 .

Ilyen formában a δ-disztribúció definíciójaként is szolgál a Lebesgue-integrálelméletben.

A Dirac-mérték tulajdonságaiSzerkesztés

  • Legyen   mérhető tér, és   egy ehhez tartozó Dirac-mérték. Ekkor   valószínűségi mérték   felett, és mint ilyen, véges.
  • Legyen   topológiai tér, és   legalább olyan finomságú, mint a   feletti Borel-féle σ-algebra. Ekkor
    •   szigorúan pozitív mérték, ha   eleme minden nem üres halmaznak  -ben. Ez fordítva is igaz.[1]
    • Lokálisan véges mérték, ez következik abból, hogy valószínűségi mérték is.
    • Ha   Hausdorff-tér a Borel-féle σ-algebrával, akkor   kielégíti a reguláris belső mérték feltételeit, mivel minden egyelemű halmaz kompakt.
    • A fenti esetben   Radon-mérték is.
    • Ha   elég finom ahhoz, hogy   zárt legyen,[2] akkor   tartója is   lesz. Mi több,   az egyetlen  -tartójú valószínűségi mérték. Minden egyéb esetben   a lezárása lesz  -nak.
    • Ha   euklideszi tér a szokásos σ-algebrával és az  -dimenziós Lebesgue-mértékkel, akkor erre nézve   szinguláris mérték. Ezt egyszerű belátni: legyen   és  , ekkor  .

ÁltalánosításSzerkesztés

A diszkrét mérték hasonlít a Dirac-mértékhez, azonban egyetlen helyett megszámlálhatóan sok pontra van értelmezve. Általánosabban minden mérték diszkrét a valós számegyenesen, ha a tartója legalább megszámlálható halmaz.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Ilyen a triviális   topológia
  2. Általában ez teljesül is.

ForrásokSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dirac measure című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.