Főmenü megnyitása

Einstein-modell

Szilárdtestfizikai modell a fajhő meghatározására
A Debye-modellből és az Einstein-modellből számolható, hőmérsékletfüggő hőkapacitás összevetése.

A szilárdtestfizikában és statisztikus fizikában alkalmazott Einstein-modell segítségével a szilárdtestek fajhőjének klasszikus leírásából adódó ellentmondások oldhatók fel. A kvantummechanikán alapuló modell az alábbi két főbb feltevésen alapul:

Bár a modell nem veszi figyelembe a hosszúhullámú rezgések hatását (melyek a rácsban terjedő hanghullámoknak illetve hosszúhullámú fononoknak felelnek meg), viszont kellőképpen pontos közelítést ad a szilárdtestek fajhőjére magasabb hőmérsékleten. A kísérletek azt mutatják, hogy a szilárdtestek fajhője a hőmérséklet csökkenésével csökken, 0 K hőmérsékleten pedig eltűnik. A klasszikus modell ezt nem képes megmagyarázni, míg az Einstein-modell egyes esetekben pontos leírást ad a fajhő hőmérsékletfüggésére.

Kapcsolat a klasszikus modellelSzerkesztés

Ma klasszikus fizikaként emlegetett, a zömében 20. század előtti fizikai felfogásokból álló világkép egyik komoly ellentmondása volt, hogy a szilárdtestek fajhője nem követi a Dulong–Petit-szabályt. Utóbbi a kinetikus elméletből az ekvipartíció tételének felhasználásával a teljes energiára az alábbi kifejezést vezeti le:

 .

Ebből a hőkapacitás a definíció alapján:

 .

Ebből az egyatomos szilárd test moláris hőkapacitása  , ahol   az egyetemes gázállandó. A kifejezés tehát láthatóan nem hőmérsékletfüggő végeredményt ad.

Albert Einstein 1907-ben azt javasolta, hogy a rácsrezgéseket a Planck-féle kvantum-hipotézisnek megfelelően szintén kvantált mennyiségnek képzeljük ez, azaz hogy a rácsrezgések frekvenciája csak diszkrét kvantumokban változhat.[1] Így a rácsrezgés energiája is kvantált:  , ahol   egész szám,   a Planck-állandó,   pedig a frekvencia. A statisztikus fizikából ismert   állapotösszeggel és a szokásos   jelöléssel egy adott módus energiaátlaga  . A rácspontokban harmonikus oszcillátorokat képzelt el, melyekre ez az energiaátlag:

 .

Einstein továbbá feltette, hogy minden atom egymástól független oszcillátor, melynek rezgése egységesen  , azaz a diszperziós relációban a frekvencia hullámszámtól való függetlenségét látjuk. A rácsban   darab atom van, melyek egyesével 3 független irányban képesek rezgésre, így a rács teljes belső energiája  . Einstein a fajhőt ebből származtatta:

 ,

ahol   az Einstein-függvény.

Bár az Einstein-modell eredményei pontosabban egyeznek a kísérletekkel, mint a klasszikus számítás, viszont érvénye csak a magasabb hőmérsékletű rácsokra terjed ki. Újabb, alacsony hőmérsékletű mérések rámutattak, hogy a modell azon feltevése, hogy a rács atomjai független és azonos frekvenciájú oszcillátorok, nem vezet helyes eredményre a fajhővel kapcsolatban, ugyanis figyelmen kívül hagyja a hosszúhullámú, akusztikus módusoknak megfelelő, könnyen gerjeszthető rácsrezgéseket.

ForrásokSzerkesztés

  • Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai I: Szerkezet és dinamika. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 2009. ISBN 9789632840970  
  • Charles Kittel: Bevezetés a szilárdtest-fizikába. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 1981.  

JegyzetekSzerkesztés

  1. A Einstein (1907). „Planck’s theory of radiation and the theory of specific heat”. Annalen der Physik, 180–190. o.