Főmenü megnyitása

Elliptikus integrál

matematikai módszer

Az elliptikus integrál fogalma onnan ered, hogy eredetileg egy ellipszis (görbe) ívhosszának a problémáját vizsgálták; ezzel Giulio Fagnano és Leonhard Euler matematikusok foglalkoztak először.

Az elliptikus integrált f függvényként, a következőképpen definiálják:

ahol R egy racionális függvény két argumentummal, P egy 3-ad- vagy 4-edrendű polinom, és c egy konstans.

Általában az elliptikus integrált nem lehet elemi függvényekkel kifejezni.

Ez alól kivétel, ha P ismétlődő gyökökkel rendelkezik, vagy ha R(x,y) nem tartalmazza y páratlan hatványait.

Megfelelő redukciós képlettel, minden elliptikus integrál olyan formába hozható, amelyekben racionális függvényeket tartalmazó integrálok vannak, és Legendre kanonikus képlete. A Legendre-képlet mellett, az elliptikus integrál kifejezhető Carlson szimmetrikus formájában is. Történetileg az elliptikus-függvényt az elliptikus integrál inverz függvényeként fedezték fel.

Argumentum jelölésSzerkesztés

Az elliptikus integrál két argumentum függvénye. Ezeket az argumentumokat sokféle teljesen ekvivalens módon lehet kifejezni, (mind ugyanazt az elliptikus integrált jelöli).

Az egyik argumentum kifejezése:

  • α, a moduláris szög
  • k = sin α, az elliptikus modulus, vagy excentricitás;
  • m = k2 = sin2α, a paraméter.

Bármely fenti mennyiség teljes mértékben meghatározza bármely másik kettőt (feltéve, ha azok nem negatívak). Így ezek felcserélhetők, vagylagosan alkalmazhatok.

A másik argumentum, az amplitudó, φ, vagy x vagy u, ahol x = sin φ = sn u és sn az egyik Jacobi-féle elliptikus függvény. Bármely mennyiség értékének specifikálása, meghatározza a többit. u is függ m -től. További összefüggések:

 .

Az utóbbit néha delta amplitudónak is hívják, és Δ(φ)= dn u-nek írják.

Elsőfajú inkomplett elliptikus integrálSzerkesztés

Az elsőfajú inkomplett elliptikus integrál, F definíciója:

 .

Ez az integrál trigonometrikus formája; behelyettesítve a  -t, megkapjuk a Jacobi-féle képletet:

 .

Ezzel egyenlő, amplitudóval, és moduláris szöggel kifejezve:

 .

Jelölésünkben, a függőleges vonal, mint delimiter, jelzi, hogy a következő argumentum a “paraméter”, míg a visszaper-karakter jelzi, hogy ez a moduláris szög. A pontos vessző jelzi, hogy az előző argumentum, az amplitudó szinusza:

 .

  -nel kapjuk:

 ;

azaz, a Jacobi-féle elliptikus függvények az elliptikus integrálok inverzei.

Másodfajú inkomplett elliptikus integrálSzerkesztés

A másodfajú inkomplett elliptikus integrál, E trigonometrikus képlettel:

 .

Behelyettesítve a   egyenleteket, kapjuk a Jacobi képletet:

 .

Ezzel egyenlő, az amplitudóval, és moduláris szöggel kifejezett képlet:

 .

Harmadfajú inkomplett elliptikus integrálSzerkesztés

A harmadfajú inkomplett elliptikus integrál, Π:

 , vagy
 

Az n számot karakterisztikának hívják, és bármely értéket felvehet, függetlenül a többi argumentumtól, Figyeljük meg, hogy   értéke végtelen, bármely m-re. Kapcsolat a Jacobi-féle elliptikus függvényekkel:

 .

Elsőfajú komplett elliptikus integrálSzerkesztés

Elliptikus integrálra akkor mondjuk, hogy “komplett”, ha az amplitudó φ=π/2 és ezért x=1. Elsőfajú komplett elliptikus integrál, K definíciója:

 ,

Speciális értékekSzerkesztés

 
 
 
 
 

Kapcsolat a Jacobi-féle 0-függvénnyelSzerkesztés

 

ahol q egy speciális függvény:  .

Aszimptotikus kifejezésekSzerkesztés

 

Ennek a közelítésnek a relatív pontossága jobb, mint 3×10−4 k < 1/2 esetében.

Derivált és differenciál egyenletSzerkesztés

 
 

Másodfajú komplett elliptikus integrálSzerkesztés

A másodfajú komplett elliptikus integrál, E írja le az ellipszis kerületét. Definíció:

 ,

vagy:

 .

Hatványsorral is kifejezhető:

 ,

mely ekvivalens:

 .

A Gaussi hipergeometrikus függvény kifejezéseivel:

 .

Speciális értékekSzerkesztés

 
 
 
 
 

Derivált és differenciál egyenletSzerkesztés

 
 

Harmadfajú komplett elliptikus integrálSzerkesztés

A harmadfajú komplett elliptikus integrál, Π, melynek definíciója:

 

Megjegyezzük,hogy néha a harmadfajú komplett elliptikus integrál definiálása az n karakterisztika inverz jelével történik,

 .

Parciális deriváltakSzerkesztés

 
 

Függvény kapcsolatokSzerkesztés

Kapcsolat a Legendre-függvénnyel:

 .


IrodalomSzerkesztés

  • Harris Hancock: Lectures on the theory of Elliptic functions. (hely nélkül): New York, J. Wiley & sons. 1910.  
  • Carlson, B.C: "Elliptic integral". (hely nélkül): ., NIST Handbook of Mathematical Functions. 2010.  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

További információkSzerkesztés