Esemény (matematika)

A valószínűségszámításban az esemény egy absztrakt fogalom, amelyhez egy kísérlet kimenetelétől függően hozzárendelhető az az ítélet, hogy az adott esemény bekövetkezett-e vagy sem.[1] Az ugyanazon kísérlet eredményével kapcsolatos események összessége az eseményalgebra. Például a "dobókockával páros számot dobni" esemény a kockadobás eseményeiből álló eseményalgebra azon eseménye, amelyben számok közül a számok valamelyike lett a dobás eredménye. Biztos eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely a kísérlet bármilyen kimenetele esetén bekövetkezik, lehetetlen eseménynek hívjuk azt az eseményt, amely a kísérlet kimenetelétől függetlenül soha nem következik be.

Relációk eseményeken szerkesztés

Egy eseményalgebra két,   és   eseménye egyenlő, ha az eseményalgebrához tartozó kísérlet bármely kimenetele esetén vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem.[1]

Azt mondjuk, hogy egy eseményalgebra   maga után vonja a   eseményt, ha az eseményalgebrához tartozó kísérlet bármely kimenetele esetén bekövetkezik a   esemény is, amennyiben az   esemény bekövetkezett.[2] Jelölése:  

Az   egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha   és  . Azaz az   maga után vonja a   eseményt, és a   maga után vonja az   eseményt.[3]

  esetén a valószínűségekre teljesül, hogy  , azaz ha   maga után vonja a   eseményt, akkor   valószínűsége legalább akkora, mint   valószínűsége.

Műveletek eseményekkel szerkesztés

Ha   egy véletlen kísérlet eredménye, akkor minden olyan esemény bekövetkezett, amire  , ahol   esemény.

Metszet, diszjunktság szerkesztés

Ha   és   események, akkor metszetük is esemény, mivel a σ-algebra zárt a metszetre. Az   esemény pontosan akkor következik be, ha   és   is bekövetkezik.

Ha  , akkor a két esemény sosem következhet be egyszerre. Kizáró események, diszjunkt események, amelyek kizárják egymás bekövetkeztét.

Általában, ha   események, akkor az

 

metszet is esemény, ami akkor következik be, ha   mindegyike bekövetkezik. Az események páronként diszjunktak, ha   minden  ,   esetben.

Unió szerkesztés

Az   és   események   egyesítése is esemény, mivel a σ-algebra zárt az egyesítésre. Ez pontosan akkor következik be, ha   vagy   bekövetkezik, akár mind a kettő egyszerre. Másként,   bekövetkezik, ha az   és   események közül legalább egy bekövetkezik. A valószínűségekre adódik, hogy

 

Speciálisan a diszjunkt unió  .

Általában, ha   események, akkor az

 

egyesítés az az esemény, ami bekövetkezik, ha legalább egy   esemény bekövetkezik.

Teljesül a σ-szubadditivitás:

 

Páronként diszjunkt esetben egyenlőséggel.

Tetszőleges véges sok esemény uniójának valószínűsége a szitaformulával számítható.

Komplementer esemény szerkesztés

Az   komplementer esemény pontosan akkor következik be, ha az   esemény nem következik be. Jelölése   vagy  . Valószínűsége

 

A metszet- és az unióesemények komplementerére is teljesülnek a halmazelméleti De Morgan-szabályok:

 
 

Speciálisan, két eseményre   illetve  .

Különbség szerkesztés

Az   különbség vagy differencia akkor következik be, ha A bekövetkezik, de B nem. Teljesül, hogy

 

A differencia valószínűségének becslése:

 

Speciálisan, ha  , akkor

 .

Szimmetrikus differencia szerkesztés

Az   esemény akkor következik be, ha   vagy   egyike, és csakis egyike bekövetkezik. A szimmetrikus differencia írható úgy is, mint:

 

A valószínűség becslése

 

Teljes eseményrendszer szerkesztés

A teljes eseményrendszer páronként diszjunkt események egy családja, amelynek uniója a teljes   alaphalmazt kiadja.Nevezik   diszjunkt felbontásának, partíciójának is. Ekkor a véletlen kísérlet eredménye szerint egy, és csak egy esemény következik be a teljes eseményrendszerből.

Összetett események, elemi események szerkesztés

Az   egyelemű eseményhalmazokat elemi eseményeknek nevezik. Diszkrét esetben az események valószínűsége kiszámítható az elemi esemény részhalmazainak segítségével:

 

Ekkor úgy kell választani a  -t, hogy teljesüljön

  és
 

Előfordulhat, hogy néha az egyes elemeket nevezik elemi eseményeknek. Ez pontatlan, mivel   elemei elemei, és nem részhalmazai, így nem is események. Továbbá lehet olyan meghatározás, amiben egyes egyelemű részhalmazok nem események. Mindenesetre ezzel a szóhasználattal is az egyelemű halmazra gondolnak, csak nem mondják ki.

Függetlenség szerkesztés

Ha   és   események, akkor függetlenek, ha

 

A feltételes valószínűséggel kifejezve

 

feltéve, hogy  . Szimmetriára hivatkozva kiterjeszthető, de két lehetetlen esemény függetlenségét akkor is külön kell kimondani.

Általában, események egy   családja független, ha minden véges   indexhalmazra fennáll:

 

Páronként függetlenek, ha

 

minden   indexre. A függetlenségből következik a páronkénti függetlenség, de ha kettőnél több esemény van, akkor fordítva már nem.

Példák szerkesztés

Kockadobás szerkesztés

Kísérlet: Egy szabályos dobókockát feldobunk és megvizsgáljuk, hogy milyen értékeket kaphatunk eredményül.

A kockadobás eredménye lehet 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös és 6-os, így ebben a kísérletben  . Ekkor  , azaz az   eseménytér minden részhalmaza esemény. Például esemény az, ha kettest dobunk és az is ha páratlan számot, de esemény az is ha ötnél kisebb számot.

Érmedobás szerkesztés

Kísérlet: Egy szabályos pénzérmét feldobunk és megvizsgáljuk, hogy milyen értékeket kaphatunk eredményül.

Az érmedobás eredménye lehet fej vagy írás, így ebben a kísérletben  . Ekkor  , azaz az   eseménytér minden részhalmaza esemény. Például esemény az, ha fejet dobunk és az is ha írást. Az is esemény ha fejet vagy írást dobunk.

Diszkrét események szerkesztés

Ha   diszkrét eseményhalmaz, azaz legfeljebb megszámlálható végtelen eleme van, akkor többnyire a   hatványhalmazt használják eseményrendszernek. Ekkor a teljes minden részhalmaza esemény.

Folytonos események szerkesztés

Ha   folytonos eseményhalmaz, akkor nem választható a teljes hatványhalmaz eseményrendszernek. Ha ugyanis az elemek valószínűsége nulla lenne, akkor minden valószínűség nulla lenne, a teljes is, ami ellentmondás. Ezért többnyire a Borel-σ-algebrát választják. Ezt az   alakú nyílt intervallumok, vagy ezek direkt szorzatai (téglák) generálják, ahol  . Ezt azért kedvelik, mivel mindent tartalmaznak, amiket értelmesen definiálni tudunk, tehát minden nyílt, zárt halmaz, diszkrét ponthalmazok is benne vannak, és események. Ezzel nem választják ki az összes részhalmazt sem, erre a Vitali-halmazok adnak ellenpéldát.

Források szerkesztés

Jegyzetek szerkesztés

  1. a b Rényi 15. old.
  2. Rényi 20-21. old.
  3. Rényi 21. old.

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.