Esemény (matematika)

A valószínűségszámításban az eseménytér bizonyos (mérhető) részhalmazainak nem üres halmazát eseményalgebrának nevezzük. Az eseményalgebra minden elemét eseménynek nevezzük. Például a dobókockával páros számot dobunk az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz {2, 4, 6} részhalmazának felel meg. Egy esemény fellép vagy bekövetkezik, ha tartalmazza a véletlen kísérlet eredményét.

Az eseménytér alaphalmazával egyenlő esemény a biztos esemény, mivel mindig bekövetkezik. Ezzel szemben az üres halmaz a lehetetlen esemény, ami sosem következik be. Például kockadobáskor a biztos esemény {1,2,3,4,5,6}, és a lehetetlen .

PéldákSzerkesztés

KockadobásSzerkesztés

Kísérlet: Egy szabályos dobókockát feldobunk és megvizsgáljuk, hogy milyen értékeket kaphatunk eredményül.

A kockadobás eredménye lehet 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös és 6-os, így ebben a kísérletben  . Ekkor  , azaz az   eseménytér minden részhalmaza esemény. Például esemény az, ha kettest dobunk és az is ha páratlan számot, de esemény az is ha ötnél kisebb számot.

ÉrmedobásSzerkesztés

Kísérlet: Egy szabályos pénzérmét feldobunk és megvizsgáljuk, hogy milyen értékeket kaphatunk eredményül.

Az érmedobás eredménye lehet fej vagy írás, így ebben a kísérletben  . Ekkor  , azaz az   eseménytér minden részhalmaza esemény. Például esemény az, ha fejet dobunk és az is ha írást. Az is esemény ha fejet vagy írást dobunk.

Diszkrét eseményekSzerkesztés

Ha   diszkrét eseményhalmaz, azaz legfeljebb megszámlálható végtelen eleme van, akkor többnyire a   hatványhalmazt használják eseményrendszernek. Ekkor a teljes minden részhalmaza esemény.

Folytonos eseményekSzerkesztés

Ha   folytonos eseményhalmaz, akkor nem választható a teljes hatványhalmaz eseményrendszernek. Ha ugyanis az elemek valószínűsége nulla lenne, akkor minden valószínűség nulla lenne, a teljes is, ami ellentmondás. Ezért többnyire a Borel-σ-algebrát választják. Ezt az   alakú nyílt intervallumok, vagy ezek direkt szorzatai (téglák) generálják, ahol  . Ezt azért kedvelik, mivel mindent tartalmaznak, amiket értelmesen definiálni tudunk, tehát minden nyílt, zárt halmaz, diszkrét ponthalmazok is benne vannak, és események. Ezzel nem választják ki az összes részhalmazt sem, erre a Vitali-halmazok adnak ellenpéldát.

Halmazműveletek eseményekkelSzerkesztés

Ha   egy véletlen kísérlet eredménye, akkor minden olyan esemény bekövetkezett, amire  , ahol   esemény.

Tartalmazás, egyenlőségSzerkesztés

Ha   és   események, és   tartalmazza az   eseményt ( ), akkor valahányszor bekövetkezik  , bekövetkezik   is. Ezt úgy is mondják, hogy     következménye. A valószínűségekre teljesül, hogy  , azaz ha   maga után vonja a   eseményt, akkor   valószínűsége legalább akkora, mint   valószínűsége.

Az   egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha   és  . Ekkor   maga után vonja a   eseményt, és   maga után vonja az   eseményt.

Metszet, diszjunktságSzerkesztés

Ha   és   események, akkor metszetük is esemény, mivel a σ-algebra zárt a metszetre. Az   esemény pontosan akkor következik be, ha   és   is bekövetkerzik.

Ha  , akkor a két esemény sosem következhet be egyszerre. Kizáró események, diszjunkt események, amelyek kizárják egymás bekövetkeztét.

Általában, ha   események, akkor az

 

metszet is esemény, ami akkor következik be, ha   mindegyike bekövetkezik. Az események páronként diszjunktak, ha   minden  ,   esetben.

UnióSzerkesztés

Az   és   események   egyesítése is esemény, mivel a σ-algebra zárt az egyesítésre. Ez pontosan akkor következik be, ha   vagy   bekövetkezik, akár mind a kettő egyszerre. Másként,   bekövetkezik, ha az   és   események közül legalább egy bekövetkezik. A valószínűségekre adódik, hogy

 

Speciálisan a diszjunkt unió  .

Általában, ha   események, akkor az

 

egyesítés az az esemény, ami bekövetkezik, ha legalább egy   esemény bekövetkezik.

Teljesül a σ-szubadditivitás:

 

Páronként diszjunkt esetben egyenlőséggel.

Tetszőleges véges sok esemény uniójának valószínűsége a szitaformulával számítható.

Teljes eseményrendszerSzerkesztés

A teljes eseményrendszer páronként diszjunkt események egy családja, amelynek uniója a teljes   alaphalmazt kiadja.Nevezik   diszjunkt felbontásának, partíciójának is. Ekkor a véletlen kísérlet eredménye szerint egy, és csak egy esemény következik be a teljes eseményrendszerből.

Komplementer eseménySzerkesztés

Az   komplementer esemény pontosan akkor következik be, ha az   esemény nem következik be. Jelölése   vagy  . Valószínűsége

 

A metszet- és az unióesemények komplementerére is teljesülnek a halmazelméleti De Morgan-szabályok:

 
 

Speciálisan, két eseményre   illetve  .

KülönbségSzerkesztés

Az   különbség vagy differencia akkor következik be, ha A bekövetkezik, de B nem. Teljesül, hogy

 

A differencia valószínűségének becslése:

 

Speciálisan, ha  , akkor

 .

Szimmetrikus differenciaSzerkesztés

Az   esemény akkor következik be, ha   vagy   egyike, és csakis egyike bekövetkezik. A szimmetrikus differencia írható úgy is, mint:

 

A valószínűség becslése

 

FüggetlenségSzerkesztés

Ha   és   események, akkor függetlenek, ha

 

A feltételes valószínűséggel kifejezve

 

feltéve, hogy  . Szimmetriára hivatkozva kiterjeszthető, de két lehetetlen esemény függetlenségét akkor is külön kell kimondani.

Általában, események egy   családja független, ha minden véges   indexhalmazra fennáll:

 

Páronként függetlenek, ha

 

minden   indexre. A függetlenségből következik a páronkénti függetlenség, de ha kettőnél több esemény van, akkor fordítva már nem.

Elemi eseményekSzerkesztés

Az   egyelemű eseményhalmazokat elemi eseményeknek nevezik. Diszkrét esetben az események valószínűsége kiszámítható az elemi esemény részhalmazainak segítségével:

 

Ekkor úgy kell választani a  -t, hogy teljesüljön

  és
 

Előfordulhat, hogy néha az egyes elemeket nevezik elemi eseményeknek. Ez pontatlan, mivel   elemei elemei, és nem részhalmazai, így nem is események. Továbbá lehet olyan meghatározás, amiben egyes egyelemű részhalmazok nem események. Mindenesetre ezzel a szóhasználattal is az egyelemű halmazra gondolnak, csak nem mondják ki.

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.