Független események

(Események függetlensége szócikkből átirányítva)

A valószínűségszámításban két esemény függetlensége azt írja le, hogy az egyik esemény bekövetkezése vagy nem bekövetkezése nincs hatással a másikra, és a másiknak sem az egyikre. Alapvető fogalom.

Két esemény függetlensége szerkesztés

Definíció szerkesztés

Legyen   valószínűségi tér és   tetszőleges események, azaz mérhető részhalmazok az   eseményhalmazban.

Két esemény,   és   független, ha

 

Tehát akkor függetlenek, ha annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik, egyenlő a két esemény valószínűségének szorzatával.

Példa szerkesztés

Példaként tekintsünk két húzást egy urnából, amiben két piros és két fekete golyó van. Legyen a két esemény:

  • A: Az első golyó fekete
  • B: A második golyó piros

Ekkor   és  .

Visszatevéses esetben:

 .

Tehát a két esemény független.

Visszatevés nélkül  , ami azt jelenti, hogy a két esemény nem független. Ez azt is mutatja, hogy a függetlenség nemcsak az eseményektől, hanem a használt valószínűségi mértéktől is függ.

Tulajdonságok szerkesztés

  • Az események függetlensége szimmetrikus tulajdonság. Beszélhetünk A és B események függetlenségéről.
  • Egy esemény csak akkor független saját magától, ha valószínűsége 0 vagy 1. Ez azt jelenti, hogy a teljes   és az üres   halmaz független saját magától.
  • A 0 vagy 1 valószínűségű események nemcsak saját maguktól, hanem minden más eseménytől is függenek, mivel ekkor   illetve  . Megfordítva, ha egy A esemény minden eseménytől független, akkor   vagy  .
  • A függetlenség nem tévesztendő össze a diszjunktsággal. Diszjunkt események csak akkor függetlenek, ha egyikük valószínűsége 0 vagy 1.
  • Feltételes valószínűséget használva a függetlenség másként is megfogalmazható: Ha   és   események, és valószínűségük   függetlenek, ha
 

másként

 

Az utolsó két definíció szavakkal így jellemezhető: Az   esemény bekövetkezése nem függ attól, hogy   vagy   következik-e be. Itt szimmetria miatt   és   szerepe felcserélhető.

Története szerkesztés

Abraham de Moivre és Thomas Bayes visszatevés nélküli szerencsejátékokat vizsgált, az események függetlensége ezzel kapcsolatban merült fel, habár Jakob I. Bernoulli kimondása nélkül épített rá.[1] De Moivre 1718-ban azt a definíciót adta a The Doctrine of Chance című könyvében, amit ma is ismerünk. Későbbi kiadása már a két esemény egymásra hatásának hiányát mondja ki, ez a feltételes valószínűséggel való definíció előfutára.[2] Formálisan először Georg Bohlmann írta le 1900-ban.

Több esemény függetlensége szerkesztés

Definíció szerkesztés

Legyen   valószínűségi tér,   nemüres indexhalmaz, és   események egy családja. Ez legutóbbi független, ha   minden véges   részhallmazásra teljesül, hogy

 

Példa szerkesztés

A fenti definíció szerint, ha  ,  ,   esemény, akkor mivel hárman vannak, mindháromnak páronként függetlennek kell lennie, és még az   összefüggésnek is teljesülnie kell. Bernstein példája (1927) három esemény,  ,   és   páronkénti függetlenségét mutatja, de együtt (tehát  ,   és  ) nem függetlenek. Hasonló példát már Georg Bohlmann is adott 1908-ban.

Legyen egy skatulyában 4 cédula a következő számokkal: 112, 121, 211, 222. Ezek közül egyet (1/4 valószínűséggel) véletlenszerűen kiválasztunk. A következő három eseményt tekintjük:

 , valószínűsége  
 , valószínűsége  
 , valószínűsége  

Könnyen látható, hogy az események páronként függetlenek, mivel

 
 
 

Azonban a három esemény nem független, mivel

 

Megfordítva sem következik   esetén, hogy a három esemény páronként független. Tekintsük az

 

alaphalmazt az

 
 

eseményekkel az egyenletes eloszlás szerint! Ekkor

 ,

viszont

 .

Kapcsolat az oksággal szerkesztés

Fontos megjegyezni, hogy a függetlenség és az oki függetlenség két különböző dolog. A függetlenség valószínűségi mértékek és események absztrakt tulajdonsága, ami szimmetrikus, ez nem teljesül az okságra. A következőkben áttekintünk néhány példát a két kapcsolatról.

Függetlenség és oki függőség szerkesztés

Dobjunk két kockával, legyen az   esemény, hogy az első kocka páros számot mutat, a   esemény, hogy a dobott számok összege páros! Ekkor   és  , a két esemény független, de   okilag függ  -tól, mivel az első kockával kidobott szám hozzájárul az összeghez.

Függetlenség és oki függetlenség szerkesztés

Dobjunk két kockával, legyen az   esemény, hogy az első kockával 6-ot dobunk, a   esemény, hogy a második kockával 6-ot dobunk! Ekkor   és  , a két esemény független, és belátható, hogy okilag is függetlenek.

Összefüggés és oki függés szerkesztés

Dobjunk egy érmével kétszer, legyen az   esemény, hogy mindkétszer fejet dobunk, a   esemény, hogy az első dobás írás! Ekkor   és  , viszont  . Az események diszjunktak, összefüggők és okilag is összefüggők.

Megjegyzés szerkesztés

Korrekt metodológia esetén nem elég feltételezni a függetlenséget, azt meg kell vizsgálni. Statisztikai vizsgálatoknál a   nem eleve adott. Hipotézisvizsgálatot lehet χ²-próbával végezni.

Általánosításai szerkesztés

Az események függetlensége általánosítható halmazrendszerek függetlenségére és az alapján valószínűségi változókra is kiterjeszthető. Mindezek központi jelentőséggel bírnak a valószínűségszámításban, és számos tétel előfeltételében szerepelnek.

Feltételes várható érték használatával mindezek feltételes függetlensége is definiálható.

Források szerkesztés

  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  • Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5 
  • Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
  • Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 
  • A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 ([1]).

Jegyzetek szerkesztés

  1. de Tari and Diblasi: Analysis of didactic situations suggested to distinguish disjunctive events and independent events. In: ICOTS-7, 2006.
  2. Zitiert nach: Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. In: The CHANCE Project. Version vom 4. Juli 2006. Website Archiválva 2011. július 27-i dátummal a Wayback Machine-ben

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Stochastisch unabhängige Ereignisse című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.