Független halmazrendszerek
A valószínűségszámításban a halmazrendszerek függetlensége az események függetlenségének általánosítása, és segíti a valószínűségi változók függetlenségének definiálását. Emiatt a független halmazrendszerek a valószínűségszámítás alapfogalmai közé tartoznak, és fontos tételek feltételei is tartalmazzák.
Definíció
szerkesztésAdva legyen az valószínűségi tér, vagyis egy σ-algebra az alaphalmazon, és egy valószínűségi mérték. Legyen a továbbiakban tetszőleges indexhalmaz és minden indexhez tartozzon egy adott halmazrendszer.
Az halmazrendszerek függetlenek, ha minden véges részhalmazára az események függetlenek, vagyis
- .
Példák
szerkesztésLegyen és , ekkor a halmazrendszerek függetlenek, ha az és események függetlenek. Ekkor , elég csak az és eseteket vizsgálni. Az eset triviális.
- Ha , akkor esetén mindig , mivel a halmazrendszer egyelemű. Tehát a kijelentés mindig igaz. Hasonlóan következik .
- Ha , akkor a halmazrendszerek egyeleműsége miatt ( )
- az és események függetlensége miatt.
Általában, ha események egy családja és halmazrendszerek egy családját úgy definiáljuk, hogy minden -hez egy egyelemű halmazrendszer tartozik, akkor a halmazrendszerek családja független, ha az események családja független. Ezt az ekvivalenciát használják események függetlenségének bizonyítására.
Egy σ-algebra egy valószínűségi mezőn P-triviális, ha minden esetén vagy vagy . A P-triviális σ-algebrák minden halmazrendszertől függetlenek. Ekkor és , így egy másik halmazrendszer tetszőleges elemére. Ugyanígy is teljesül, ha . Tehát és független.
Tulajdonságai
szerkesztésHa az diszjunkt felosztása (vagyis minden esetén, és ) és az halmazrendszerek családjai függetlenek, akkor az
- halmazrendszerek családja is független.
Véges esetén: Ha minden halmazrendszer tartalmazza az alaphalmazt, akkor éppen akkor függetlenek, ha
- minden esetén. Ekkor elegendő a definiáló egyenlőséget csak a teljes indexhalmazra vizsgálni. A esetekben az egyenlőség automatikusan következik, esetén választással.
Ha minden -re az halmazrendszer metszetstabil, akkor pontosan akkor független, ha a generált σ-algebrák függetlenek.
Alkalmazása
szerkesztésA független halmazrendszereket arra használják, hogy a függetlenséget átvigyék véletlen változókra. Legyen valószínűségi tér, és mértékterek. Adva legyen továbbá -ból -be illetve -be. Ha a véletlen valószínűségi változók által generált kezdeti σ-algebrák független halmazrendszerek, akkor a valószínűségi változók is függetlenek. Ez általánosítható valószínűségi változók családjára is.
Valószínűségi változók és halmazrendszerek függetlensége
szerkesztésA feltételes várható értékhez kapcsolódóan szó lehet valószínűségi változó és halmazrendszer függetlenségéről. Legyen valószínűségi változó, halmazrendszer. Ezek akkor függetlenek, ha és kezdeti σ-algebrája független a fenti értelemben.
Általánosítása
szerkesztésA σ-algebrák függetlensége a feltételes várható érték segítségével kiterjeszthető feltételes függetlenséggé. Ez szintén átvihető valószínűségi változókra.
Források
szerkesztés- Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6
Fordítás
szerkesztésEz a szócikk részben vagy egészben az Unabhängige Mengensysteme című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.