Kezdeti σ-algebra

A kezdeti σ-algebra a matematikában a mértékelmélet egy fogalma. Arra használják, hogy σ-algebrát hozzanak létre olyan tereken, amelyeken eredetileg nem volt struktúra. Speciális esetei a nyom-σ-algebra és a szorzat-σ-algebra. Szorosan összetartozik a kezdeti topológiával. Ez a legnagyobb σ-algebra, ahol függvények egy halmaza mérhető. Nevezik úgy is, mint függvények által generált σ-algebra, így a valószínűségi változók által generált σ-algebrák is kezdeti σ-algebrák. A generált algebra megnevezés nem egyértelmű, mivel halmazrendszerekkel is generálható σ-algebra.

Definíció szerkesztés

Adva legyenek az   leképezések, és mértékterek egy   családja egy nemüres   indexhalmazzal. Ekkor az

 

σ-algebra  -n az   leképezések kezdeti σ-algebrája, vagy az   által generált σ-algebra.

Példák szerkesztés

  • Legyen   leképezés, ahol   mértéktér, ekkor   σ-algebra, és  . Ha például   konstans függvény, akkor   az   triviális σ-algebra. Az   részhalmaz   indikátorfüggvénye esetén  .
  •   és   mértéktér, ahol   a természetes beágyazás, akkor a kezdeti σ-algebra éppen a nyom σ-Algebra:  .
  •   az   halmazok Descartes-szorzata egy nemüres   indexhalmazzal és   mértéktér. Legyenek az   leképezések vetületek az  -edik komponensre, ekkor a vetületek kezdeti σ-algebrája éppen a   szorzat σ-algebrája :
 .

Tulajdonságok szerkesztés

  • A kezdeti σ-algebra definíció szerint a legkisebb σ-algebra  -n, amire az   függvények mérhetők.
  • Ha   az   halmazok generátorai, akkor   az   generátora.

Alkalmazása szerkesztés

Kezdeti σ-algebrákat használnak például a valószínűségszámításban a valószínűségi változók függetlenségének definiálására. Két valószínűségi változó független, ha kezdeti σ-algebráik független halmazrendszerek.

Források szerkesztés

  • Jürgen Elstrodt. Maß- und Integrationstheorie, 6., javított, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2009). ISBN 978-3-540-89727-9 

Fordítás szerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Initial-σ-Algebra című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.