Főmenü megnyitása

Halmazrendszeren a matematikában többféle, de sok tekintetben hasonló dolgot érthetünk:

  1. A naiv halmazelméletben szokás halmazrendszer vagy halmazcsalád néven beszélni olyan halmazokról, melyeknek elemei mind halmazok; erre a kétértelműség fellépte miatt alkalmazzuk inkább szigorúan a halmazcsalád elnevezést;
  2. Szűkebb értelemben vett halmazrendszeren (a szakirodalomban gyakran indexezett vagy indexelt halmazrendszer néven fordul elő) olyan „rendezett multihalmazt” érthetünk („rendezett” = az elemek sorrendje is számít;[1] „multihalmaz” = az elemek ismétlődhetnek, többször is előfordulhatnak), melynek elemei is halmazok. Rövidebben, halmazrendszeren egyszerűen egy olyan elemrendszert (tkp. „vektort”) érthetünk, melynek elemei is halmazok.
  3. A kombinatorikában használják a hipergráf szó helyett.

Tartalomjegyzék

DefinícióSzerkesztés

Legyen   tetszőleges halmaz, az ún. indexhalmaz (ez gyakran a pozitív egészek   halmaza). Legyen továbbá   másik tetszőleges halmaz, és jelölje részhalmazai halmazát, azaz hatványhalmazát  .

Ekkor valamely

 

függvényt az   halmaz   indexhalmaz feletti halmazrendszerének nevezzük, és így jelöljük:

 

Az   halmazt a rendszer   indexhez tartozó taghalmazának (röviden i-edik tagnak vagy i-edik taghalmaznak) mondjuk, és leggyakrabban az   bal alsó indexes alakban írjuk. Tehát minden  -re  . Helytelen egy kissé, de általában nem okoz félreértést az   rendszer egy   tagja esetén az  , azaz az   jelölés használata.

A halmazrendszerek azonosíthatóak a hipergráfokkal (minden halmazrendszernek megfelel egy és csak egy hipergráf, és viszont).

Megjegyzések a definíciókról: összefüggések és eltérésekSzerkesztés

A halmazrendszer fogalma a halmazelmélet fogalmaira úgy alapítható precízen, ha függvényként (elemrendszerként) értelmezzük. E modellben az elemeknek – tag(halmaz)oknak – indexekből és taghalmazokból álló rendezett párok felelnek meg, ezért a taghalmazok „sorrendjére” nézve megkülönböztető erővel bír utóbbiaknak a különböző indexekkel való párosítása még akkor is, ha az indexhalmazon semmiféle rendezés, belső reláció nincs értelmezve. Ugyanezen ok, az eltérő indexek miatt ugyanazon taghalmaz „többször is előfordulhat”, nevezetesen ha   és  , akkor  és   különböző, noha „ugyanazt a taghalmazt reprezentálja”.

A halmazcsalád és (indexelt) halmazrendszer fogalma tehát különbözik: a halmazcsalád „rendezetlen” halmazok egy halmaza, míg a halmazrendszer bonyolultabb struktúra: „rendezett” halmazok (konkrétan elem-halmaz-párosok) egy halmaza. A szakirodalomban e két terminus jelentése még ingadozó, sok szerző nemcsak egymástól eltérően használja a „halmazrendszer” kifejezést, de néhányan tudatában is vannak az eltéréseknek; ti. a szakkifejezések rögzítetlenségére kifejezetten fel is hívják a figyelmet.[2]

Bár a szakirodalomban a „rendezett” halmazrendszerekre az „indexelt halmazrendszer” kifejezést is szokás alkalmazni – kifejezetten a halmazcsaládok megkülönböztetése miatt –, az elnevezés némileg félreérthető, ugyanis halmazcsaládot is lehet indexes alakba írni (ilyenkor a kerek zárójel helyett kapcsosat írunk: h ). Az indexelt halmazcsaládok eo ipso halmazrendszerek (a definíció miatt), a kapcsos zárójel használata csak azt hangsúlyozza, hogy külön kikötjük a tagok ismételhetetlenségét (azaz az   indexelő függvény injektivitását).

A halmazrendszerek jelentőségeSzerkesztés

A halmazrendszerek igen hasznosak – persze az olyan halmazelméleti alkalmazásokon túl, mint a kiválasztási axióma formalizálása – a matematikai analízisben, mert már a valós számok halmazának bizonyos gyakori felépítési módjaihoz is sokszor van szükség végtelen sok halmazzal végzett műveletekre (unió, metszet). Az ilyesfajta alkalmazásokon kívül elsősorban a kombinatorika foglalkozik a halmazrendszerekkel, utóbbi esetben persze leginkább véges indexhalmazú és véges taghalmazokkal rendelkező rendszerek jönnek szóba.

HalmazműveletekSzerkesztés

A halmazrendszerekkel különféle műveletek végezhetőek, például

  • Unió / Egyesítés:  
  • Metszet:  .
  • Diszjunkt unió vagy szimmetrikus differencia: az unió definíciójában az egzisztenciális kvantort unicit egzisztenciális kvantorra (  = „létezik pontosan egy … ”) kell cserélni;

Számos fogalom sokkal kényelmesebben és ugyanakkor precízebben leírható a második felfogásban definiált halmazrendszerek segítségével, mint pusztán halmazcsaládokra hagyatkozva.

IzomorfiaSzerkesztés

Legyen   és   két, az   ill.   indexhalmazok feletti halmazrendszer. Ekkor őket izomorfnak nevezzük, ha van az   és a   halmazok közt olyan   bijekció, melyre igaz, hogy tetszőleges  -ra és  -re akkor és csak akkor igaz  , ha  -hez is található olyan   index, hogy  . Tehát ha van olyan bijekció, hogy az egy taghalmazba tartozó elemek képei is egy taghalmazba tartozzanak.

Másképp szólva (de ugyanazt mondva), az   és   két, az   ill.   indexhalmazok feletti halmazrendszert izomorfnak nevezzük, ha van olyan   bijektív leképezés, hogy minden  -re   legyen; és hasonló teljesül tetszőleges   esetén is. Röviden szólva, ha van olyan bijekció a rendszerek unióhalmazai közt, hogy az   rendszer tetszőleges indexelt taghalmazának e függvény szerinti „képe” (relációmetszete) a   rendszer egy taghalmaza legyen, és viszont: a   rendszer egy taghalmazának e függvény szerinti képe az   egy taghalmaza legyen.

JegyzetekSzerkesztés

  1. A „rendezett” kifejezést itt tehát a naiv halmazelméletben alkalmazott módon használtuk, vö. „rendezett pár”, és nem a gyakoribb, analitikus jellegű értelemben: „rendezési relációval ellátott”.
  2. Hajnal 2. o.

ForrásokSzerkesztés

  • Maurer I. Gyula – Virág Imre: Bevezetés a struktúrák elméletébe. Kolozsvár-Napoca: Dacia. 1976.  
  • Hajnal: Hajnal Péter: Halmazrendszerek. Szeged: Polygon. 2002. = Polygon Jegyzettár, ISSN 1417-0590,  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés