Független valószínűségi változók

(Valószínűségi változók függetlensége szócikkből átirányítva)

A valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változók függetlenek, ha ha az egyik értékének ismeretéből semmi információt sem lehet nyerni a másik lehetséges értékére. Formálisan, adva legyenek az valószínűségi tér, és mértékterek, ekkor az

és

valószínűségi változók függetlenek, ha minden és esetén

.

A definíció több változóra is kiterjeszthető.

A valószínűségi változók függetlensége a valószínűségszámítás és statisztika lényegi eleme, ami események függetlensége és halmazrendszerek függetlenségét általánosítja. Több tétel, mint például a centrális határeloszlás tétele is elvárja. Vannak tételek, amelyekhez az összes valószínűségi változónak függetlennek kell lennie, de néhányhoz elég a páronkénti függetlenség.

Jelölések, alternatív definíció szerkesztés

A halmazokat többnyire kompaktabban jelölik, azaz   helyett inkább az   kifejezést írják. Ezzel a fenti definíció:

 

minden   halmazra.

Alternatív definíció adható független események segítségével. Ekkor

 
 .

Azaz ha   valószínűségi változók, akkor függetlenek, ha minden   halmazra   és   független események, tehát

 

Példa szerkesztés

Legyen   eseménytér, ahol   mint alaphalmaz,   σ-algebra, és a valószínűségi mérték az egyenletes eloszlás. Legyen továbbá   és  . Állítjuk, hogy az

 
 .

valószínűségi változók függetlenek.

Mindkét σ-algebrának négy eleme van:  , emiatt 16 kombinációt kellene megvizsgálni. Könnyen elintézhetők azok az esetek, amikor az egyik halmaz tartalmazza a másikat, hiszen minden halmaz független ezektől. Marad további négy lehetőség, ezekben   vagy   kombinálódik a következőkkel.

  1. Legyen  . Ekkor   és   továbbá  . Ezek az események függetlenek, mivel  :
  2. Legyen  . Ekkor   és   továbbá  . Ezek az események függetlenek, mivel  .
  3. Legyen   és  . Ekkor   és   továbbá  . Ezek az események függetlenek, mivel  .
  4. Legyen   és  . Ekkor   és   továbbá  . Ezek az események függetlenek, mivel  .

Ezzel minden esemény független, tehát a valószínűségi változók is.

Általános eset szerkesztés

Valószínűségi változók   egy családja, ahol   tetszőleges indexhalmazzal   független, ha teljesül indexek minden   részhalmazára, hogy

 

minden   esetén.

Halmazrendszerek függetlenségével is kiterjeszthető a definíció több változóra: Valószínűségi változók egy családja független, ha σ-algebráik függetlenek. Ez a definíció a valószínűségi vektorváltozókra (amelyek   értékűek) is alkalmazható.[1] Nincsenek további követelmények a komponensekre.

Kritériumok szerkesztés

Generátorrendszerek szerkesztés

A vizsgált halmazok száma csökkenthető, ha van ismert generátor. Ha minden σ-algebrához van     metszetstabil generátor, akkor  , tehát elegendő a generátorok függetlenségét vizsgálni. A kritérium így a következőre redukálódik:

 

minden   halmazra és minden   véges részhalmazára  -nek. Diszkrét valószínűségi terekben a generátorok többnyire a pontok, valós valószínűségi változók esetén a Borel-féle σ-algebra generátorai, a félig nyílt intervallumok.

Véges családok szerkesztés

Ha a valószínűségi változók, így indexhalmazuk is véges, például ha az indexhalmaz  , akkor elegendő, hogy

 

minden   halmatra. Le lehet mondani a   részhalmazok vizsgálatáról. Ez következik abból, hogy  . A   eset automatikusan következik a fentiből, ha  -t helyettesítünk, ekkor   így a kijelentés a kisebb indexhalmazra is igaz.

Diszkrét valószínűségi változók véges családjai szerkesztés

A fenti két kritérium együtt is vizsgálható, amennyiben diszkrét valószínűségi változók véges családjairól van szó. Legyen   és legyenek az   valószínűségi változók  -beliek, és diszkrétek   szerint, tehát véges vagy megszámlálható végtelen számosságúak. Ekkor a valószínűségi változók függetlenek, ha

 

minden   esetén.

Valós valószínűségi változók diszkrét családjai szerkesztés

Valós értékű valószínűségi változók véges családjaira a következő kritérium adódik: Az   valószínűségi változók függetlenek, ha

 

minden   esetén. Ha az   függvények az   valószínűségi változók eloszlásfüggvényei, akkor   a közös eloszlásfüggvény, akkor az   valószínűségi változók függetlenek, ha

 

teljesül. Ha az   valószínűségi változóknak van közös   sűrűségfüggvénye, akkor éppen akkor függetlenek, ha

 .

Ahol   az   szerinti peremsűrűség.

Létezés szerkesztés

Véletlen valószínűségi változók véges családjai számára adódik a kérdés, hogy van-e egy elég nagy valószínűségi tér, amiben a teljes család független erre a térre. Nem nyilvánvaló, hogy ez lehetséges; alternatívája lenne, hogy ha elég sokan vannak, akkor σ-algebráik mindig összefüggnek.

A kérdés a szorzatmértékek segítségével igenlően megválaszolható. A

 

szorzatmodellt tekintve az i-edik komponens  , azaz éppen az i indexű vetület. Így a szorzatmodell és a szorzatmérték definíciója miatt a család független, és a   vetületek eloszlása megegyezik   eloszlásával a   eseménytéren. A szorzatmodell elég nagy ahhoz, hogy tartalmazza független valószínűségi változók egy családját. A végtelen sok független valószínűségi változó létezését végtelen szorzatmérték létezésére vezettük vissza, ami nem magától értetődő. Ez belátható tetszőleges indexhalmazra például az Andersen-Jessen-tétellel, megszámlálható esetre alkalmazhsató az Ionescu-Tulcea-tétel, Borel-terekre Kolmogorov kiterjesztési tétele.

Korrelálatlanság és függetlenség szerkesztés

Ha   valószínűségi változók, akkor   korrelálatlan, ha kovarinaciájuk nulla.

  függetlenségéből következik korrelálatlanságuk. Ugyanis függetlenség esetén a várható értékekre teljesül, hogy  ; így

 .

Az első egyenlőség a kovariancia eltolástételéből, a második a függetlenségből és a várható értékekre vonatkozó fenti egyenlőségből következik.

Megfordítva azonban a korrelálatlanságból nem következik a függetlenség. Legyen az   valószínűségi változó egyenletes eloszlású az   intervallumon, és  . Ekkor

 ,

tehát a valószínűségi változók korrelálatlanok. De nem függetlenek, hiszen például

 

és

 .

A függés adódik abból, hogy  .

Analízis függetlenségre szerkesztés

A függetlenségi analízis a korrelációt vizsgálja, ha ez nem nulla, akkor a függetlenségről szóló hipotézis elvehető. Másrészt azonban ez még nem jelent biztos függetlenséget, mert ez csak a lineáris kapcsolatot mutatja ki. Viszont például, ha a közös eloszlás normális, akkor a függetlenség igazolva van. Végezhetők további tesztek is.

Valószínűségi változók és halmazrendszerek függetlensége szerkesztés

A feltételes várható értékre hagyatkozva definiálható valószínűségi változó és halmazrendszer függetlensége is. Legyen   valószínűségi változó, és   halmazrendszer. Függetlenek, ha   és az   által generált σ-algebra független.

Általánosítások szerkesztés

Hasonlóan definiálható a feltételes várható érték felhasználásával halmazrendszerek és valószínűségi változók feltételes függetlensége.

Jegyzetek szerkesztés

  1. Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie; Eine Einführung, 2., átdolgozott és bővített, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 95. o. (2014). ISBN 978-3-642-45386-1 

Források szerkesztés

  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  • Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik; Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5 
  • Hans-Otto Georgii. Stochastik; Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
  • Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 
  • A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 ([1]).