Független halmazrendszerek

(Halmazrendszerek függetlensége szócikkből átirányítva)

A valószínűségszámításban a halmazrendszerek függetlensége az események függetlenségének általánosítása, és segíti a valószínűségi változók függetlenségének definiálását. Emiatt a független halmazrendszerek a valószínűségszámítás alapfogalmai közé tartoznak, és fontos tételek feltételei is tartalmazzák.

Definíció szerkesztés

Adva legyen az   valószínűségi tér, vagyis egy   σ-algebra az   alaphalmazon, és egy   valószínűségi mérték. Legyen a továbbiakban   tetszőleges indexhalmaz és minden   indexhez tartozzon egy   adott halmazrendszer.

Az   halmazrendszerek függetlenek, ha   minden véges   részhalmazára az   események függetlenek, vagyis

 .

Példák szerkesztés

Legyen   és  , ekkor a halmazrendszerek függetlenek, ha az   és   események függetlenek. Ekkor  , elég csak az   és   eseteket vizsgálni. Az   eset triviális.

  1. Ha  , akkor   esetén mindig  , mivel a halmazrendszer egyelemű. Tehát a kijelentés mindig igaz. Hasonlóan következik  .
  2. Ha  , akkor a halmazrendszerek egyeleműsége miatt ( )
 
az   és   események függetlensége miatt.

Általában, ha   események egy családja és halmazrendszerek egy családját úgy definiáljuk, hogy minden  -hez egy egyelemű   halmazrendszer tartozik, akkor a halmazrendszerek családja független, ha az események családja független. Ezt az ekvivalenciát használják események függetlenségének bizonyítására.

Egy   σ-algebra egy valószínűségi mezőn P-triviális, ha minden   esetén vagy   vagy  . A P-triviális σ-algebrák minden halmazrendszertől függetlenek. Ekkor   és  , így   egy másik   halmazrendszer tetszőleges   elemére. Ugyanígy   is teljesül, ha  . Tehát   és   független.

Tulajdonságai szerkesztés

Ha   az   diszjunkt felosztása (vagyis   minden   esetén, és  ) és az   halmazrendszerek családjai függetlenek, akkor az

 
halmazrendszerek családja is független.

Véges   esetén: Ha minden halmazrendszer tartalmazza az   alaphalmazt, akkor éppen akkor függetlenek, ha

 
minden   esetén. Ekkor elegendő a definiáló egyenlőséget csak a teljes indexhalmazra vizsgálni. A   esetekben az egyenlőség automatikusan következik,   esetén   választással.

Ha minden  -re az   halmazrendszer metszetstabil, akkor   pontosan akkor független, ha a generált   σ-algebrák függetlenek.

Alkalmazása szerkesztés

A független halmazrendszereket arra használják, hogy a függetlenséget átvigyék véletlen változókra. Legyen   valószínűségi tér, és   mértékterek. Adva legyen továbbá    -ból  -be illetve  -be. Ha a véletlen valószínűségi változók által generált kezdeti σ-algebrák független halmazrendszerek, akkor a valószínűségi változók is függetlenek. Ez általánosítható valószínűségi változók családjára is.

Valószínűségi változók és halmazrendszerek függetlensége szerkesztés

A feltételes várható értékhez kapcsolódóan szó lehet valószínűségi változó és halmazrendszer függetlenségéről. Legyen   valószínűségi változó,   halmazrendszer. Ezek akkor függetlenek, ha   és   kezdeti σ-algebrája független a fenti értelemben.

Általánosítása szerkesztés

A σ-algebrák függetlensége a feltételes várható érték segítségével kiterjeszthető feltételes függetlenséggé. Ez szintén átvihető valószínűségi változókra.

Források szerkesztés

  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Unabhängige Mengensysteme című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.