Gell-Mann-mátrixok

A Murray Gell-Mannról elnevezett Gell-Mann-mátrixok az SU(3) csoport generátorai $3\times 3$-as mátrixok között. A nyolc mátrix a következőképp van definiálva:

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

A Gell-Mann-mátrixok nyoma nulla, hermitikusak és páronként ortogonálisak:

$\mathrm {Tr} (\lambda _{k}\lambda _{l})=2\delta _{kl}.$

A Gell-Mann-mátrixok felfoghatók a Pauli-mátrixok általánosításaként. Érdemes észrevenni, hogy $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{7}$ valójában $2\times 2$-es Pauli-mátrixok plusz egy nullákból álló sor és oszlop. Így ezeknek a mátrixoknak a sajátértékei a -1, a 0 és az 1. $\lambda _{8}$ sajátértékei ezzel szemben az ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ és a ${\frac {-2}{\sqrt {3}}}$. Továbbá, $\lambda _{3}$ and $\lambda _{8}$ mindketten diagonálisak, és

$\lambda _{3}^{2}+\lambda _{8}^{2}={\frac {4}{3}}I_{3}$

ahol $I_{3}$ a $3\times 3$-as egységmátrix. Érdekes még, hogy

$\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}+\lambda _{4}^{2}+\lambda _{5}^{2}+\lambda _{6}^{2}+\lambda _{7}^{2}+\lambda _{8}^{2}={\frac {16}{3}}I_{3}.$

A Gell-Mann-mátrixokat a kvarkok leírásánál és a kvantum-színdinamikában használják.