Gyökkritérium

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sor konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is.

Gyökkritérium: Ha van olyan 0<q < 1 szám, amelyre ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<q$ teljesül minden elég nagy n esetén, akkor a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ sor abszolút konvergens, vagyis konvergens is, hiszen az abszolút konvergenciából következik a konvergencia.

Bizonyítás: A feltétel szerint $|a_{n}|<q^{n}$ minden elég nagy n-re. Mivel a $\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}$ sor konvergens, ha 0<q < 1, így alkalmazható a majoráns kritérium és épp a bizonyítandó állítást kapjuk.

Források

• Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007) ISBN 978 963 19 6084 6
• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) ISBN 963 190 114 9

Kapcsolódó szócikkek

• Hányadoskritérium