Hányadoskritérium

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sor konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is.

Hányadoskritérium: Tegyük fel, hogy $a_{n}\neq 0$, ha n elég nagy. Ha van egy olyan 0<q<1 szám, amelyre $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<q$ teljesül minden elég nagy n esetén, akkor a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ sor abszolút konvergens, vagyis egyúttal konvergens is.

Bizonyítás: A feltételből következik, hogy egy alkalmas $n_{0}$ indexre $|a_{n}|\leq q^{n-n_{0}}\cdot |a_{n_{0}}|$ minden $n>n_{0}$-ra. Legyen $c=q^{-n_{0}}\cdot |a_{n_{0}}|$. Mivel a $\sum _{n=1}^{\infty }c\cdot q^{n}$ sor konvergens, így alkalmazhatjuk a majoráns kritériumot.

Források

• Laczkovich Miklós - T. Sós Vera, Analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007 ISBN 978-963-19-6084-6
• Császár Ákos, Valós analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999. ISBN 963-190-114-9

Kapcsolódó szócikkek

• Cauchy-konvergenciakritérium
• Gyökkritérium
• Majoráns kritérium
• Numerikus sorok