Köbszámok

figurális szám
(Köbszám szócikkből átirányítva)

A köbszámok (teljes köbök, vagy teljes harmadik hatványok) az n3 = n·n·n alakban írható számok, ahol n egész. Figurális számok, ezen belül poliéderszámok: a kocka alakban elrendezett pontok darabszámaiként is definiálhatók. Elnevezésükben a köb a latin cubus, vagyis kocka szóból származik.

Az első néhány pozitív köbszám az 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000... ((A000578 sorozat az OEIS-ben))

A köbszámok tulajdonságaiSzerkesztés

  • Végtelen sok köbszám van.
  • Köbszám ellentettje is köbszám.
  • Köbszámok szorzata is köbszám, mert (a·a·a)·(b·b·b)=(a·b)·(a·b)·(a·b), ami köbszám.
  • A köbszámok a négyzetszámok többszörösei, de van olyan négyzetszám, amely köbszám is egyben. Ezek egészek hatodik hatványai.
  • Két (nem feltétlenül különböző) pozitív köbszám összege sohasem köbszám. Ez a nagy Fermat-tétel 3 kitevőre vonatkozó speciális esetének következménye. (Többtagú összegek esetében viszont már lehetséges ez: n3-t önmagával összeadva (n3)2-szer, (n3)3 adódik, ami persze köbszám. De három köbszám összege is lehet köbszám, pl. 216=125+64+27, azaz 63=53+43+33.)
 
  • Ha a pozitív páratlan számok sorozatát egy, kettő, három, … hosszú blokkokra osztjuk, akkor az egyes blokkok összege rendre kiadja a pozitív köbszámokat:
 
 

(Az első néhány középpontos hatszögszám: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271.)

  • Minden természetes szám felírható legfeljebb kilenc nem negatív köbszám összegeként.
  •  
  • Minden racionális szám felírható három olyan tört összegeként, amelyekben a számláló és a nevező is köbszám, és ennyire szükség is van.
 
  • Generátorfüggvény:  
  • Két pozitív köbszám össze sosem köbszám. Képlettel, az   egyenlőség nem oldható meg a pozitív egészek halmazán. Ezt Leonhard Euler látta be 1753-ban. Három taggal azonban van megoldás csak pozitív egészekkel, például  
  • Ha modulo 9 nézzük a köbszámok sorozatát, akkor a   ((A167176 sorozat az OEIS-ben)) periodikus sorozatot kapjuk. Ez abból adódik, hogy  .

Tízes számrendszerben a köbszámok a következő végződésűek lehetnek: 000, 1, 8, 7, 4, 125, 375, 625, 875, 6, 3, 2 vagy 9 a következő szabályok szerint:

  • Ha a szám utolsó számjegye 0, akkor a köbe 000-ra végződik és az azt megelőző számjegyek is köbszámot alkotnak.
  • Ha a szám utolsó számjegye 1, akkor a köbe is 1-re végződik.
  • Ha a szám utolsó számjegye 2, akkor a köbe 8-ra végződik, és az azt megelőző számjegyek 4-gyel oszható számot alkotnak.
  • Ha a szám utolsó számjegye 3, akkor a köbe 7-re végződik.
  • Ha a szám utolsó számjegye 4, akkor a köbe is 4-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel nem osztható páros számot alkotnak.
  • Ha a szám utolsó számjegye 5, akkor a köbe 125-re, 375-re, 625-re vagy 875-re végződik.
  • Ha a szám utolsó számjegye 6, akkor a köbe is 6-ra végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztva 1 maradékot adó páratlan számot alkotnak.
  • Ha a szám utolsó számjegye 7, akkor a köbe 3-ra végződik.
  • Ha a szám utolsó számjegye 8, akkor a köbe 2-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztva 3 maradékot adó páratlan számot alkotnak.
  • Ha a szám utolsó számjegye 9, akkor a köbe is 9-re végződik.

Harmadrendű számtani sorozatSzerkesztés

Az első néhány köbszám:

1 8 27 64 125

Az 1 és 8 különbsége 7, 8 és 27 különbsége 19, 27 és 64 különbsége 37, 64 és 125 különbsége pedig 61. 7 és 19 között a különbség 12, 19 és 37 között 18, 61 és 37 között 24. 12 és 18 között pedig 6, 18 és 24 között 6. Ez egy szabály, melyet a sorozat folytatása is követ.

Ez nem csoda, hiszen köbszámok sorozatát az n3 = n·n·n polinom írja le, ami harmadfokú polinom. A számtani sorozat rendje megegyezik annak a polinomnak a rendjével, ami leírja. Megfordítva, a polinommal leírható sorozatok általánosított számtani sorozatok.

GenerátorfüggvénySzerkesztés

Minden   valós számsorozathoz formális hatványsor rendelhető,  . Ez az adott számsorozat generátorfüggvénye. Ebben az összefüggésben a köbszámok sorozatát nullától kezdik:

 

Ezzel a köbszámok generátorfüggvénye

 

ahol  .

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Kubikzahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Gyemidovics, B. P.: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, Bp., 1971. 8. o.
  2. Weisstein, Eric W.: Apéry constant (angol nyelven). Wolfram MathWorld

ForrásokSzerkesztés

További információkSzerkesztés