Főmenü megnyitása
A σ1(n) szigmafüggvény értéke n = 250-ig
Kolosszálisan bővelkedő számok prímhatvány osztói

A matematika, azon belül a számelmélet területén a kolosszálisan bővelkedő számok (angol nyelvterületen colossally abundant numbers, rövidítve CA) olyan természetes számok, melyek egy bizonyos, szigorú értelemben vett „sok” osztóval rendelkeznek. Formálisan, egy n természetes szám akkor és csak akkor kolosszálisan bővelkedő, ha létezik olyan ε > 0 valós szám, amelyre igaz, hogy minden k > 1-re:

.

ahol σ az osztóösszeg-függvényt jelöli.[1] Minden kolosszálisan bővelkedő szám egyben szuperbővelkedő szám, de az állítás megfordítása nem igaz..

Az első 15 kolosszálisan bővelkedő szám – 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (A004490 sorozat az OEIS-ben) egyben az első 15 kiváló erősen összetett szám is.

TörténetükSzerkesztés

A kolosszálisan bővelkedő számokat elsőként Rámánudzsan tanulmányozta, eredményeit az 1915-ös, erősen összetett számokról szóló publikációjában kívánta megjelentetni.[2] Sajnos a publikációt gondozó London Mathematical Society abban az időben pénzügyi nehézségekkel küzdött, ezért Rámánudzsannak rövidítenie kellett a dolgozatán, hogy a nyomdai költségek alacsonyabbak legyenek.[3] Eredményeinek nagy része a Riemann-sejtés igazságától függtek, ebből kiindulva talált alsó és felső korlátokat a kolosszálisan bővelkedő számok nagyságára és bebizonyította, hogy a Robin-egyenlőtlenség (lásd lejjebb) igaz elegendően nagy n értékekre.[4]

A kolosszálisan bővelkedő számok megjelentek még Leonidas Alaoglu és Erdős Pál 1944-es cikkében, amiben megkísérelték kiterjeszteni Rámánudzsan eredményeit.[5]

TulajdonságaikSzerkesztés

A kolosszálisan bővelkedő számok csoportja a természetes számok azon csoportosításai közé tartozik, melyek megpróbálják valahogy megragadni azt az elképzelést, hogy egy szám sok osztóval rendelkezik. Egy adott n pozitív egész számhoz tartozó σ(n) osztóösszeg-függvény megadja az n-et osztó összes szám summáját, az 1-et és magát az n-et is beleértve. Paul Bachmann kimutatta, hogy σ(n) értéke átlagosan π²n / 6 körül mozog.[6] Grönwall tétele szerint azonban a σ(n) függvény maximális rendje (wd) ennél mindig kissé nagyobb értéket vesz föl, méghozzá létezik n egészek olyan növekvő sorozata, melyekre a σ(n) értéke nagyjából eγnlog(log(n)), ahol γ az Euler–Mascheroni-állandó.[6] Tehát a kolosszálisan bővelkedő számok oly módon ragadják meg a sok osztóval rendelkezés fogalmát, hogy megkövetelik valamely ε > 0 értékre, hogy a

 

függvény értéke az összes n közül maximális legyen. Bachmann és Grönwall eredményei biztosítják, hogy a függvénynek minden ε > 0-ra van maximuma és ez a maximum annál nagyobb, minél közelebb van ε a nullához. Így tehát végtelen sok kolosszálisan bővelkedő szám létezik, bár meglehetősen ritkásan helyezkednek el a számegyenesen, a 1018-nál kisebb számok közül mindössze 22 ilyet találunk.[7]

A fenti függvénynek minden ε-ra van maximumhelye, de nem nyilvánvaló (és valóban nem is igaz), hogy ez a maximális érték minden ε-ra különböző lenne. Alaoglu és Erdős vizsgálták, hogy adott ε értékre hány különböző n értékre lehet maximális a függvényérték. Megmutatták, hogy a legtöbb ε értékre egyetlen n egész számra maximális a függvény. Később Erdős és Jean-Louis Nicolas megmutatta, hogy ε bizonyos diszkrét értékeire 2 vagy 4 különböző maximális értéket adó n is létezhet.[8]

1944-es dolgozatukban Alaoglu és Erdős azt a sejtést mondták ki, miszerint két egymást követő kolosszálisan bővelkedő szám hányadosa mindig prímszám. Megmutatták, hogy ez következne a transzcendenciaelmélet négy exponenciális-sejtésének egy speciális esetéből, miszerint bármely két különböző p és q prímszámokra azok a t valós számok, melyekre pt és qt is racionális, éppen a természetes számok. A három prímszámra vonatkozó eredmény felhasználásával – a hat exponenciális-tétel azon speciális esete, amit Siegel állítólag bebizonyított – megmutatták, hogy egymást követő kolosszálisan bővelkedő számok hányadosa prím vagy félprím, de semmiképpen sem prím négyzete.

Alaoglu és Erdős sejtését nem sikerült sem igazolni, sem cáfolni, bár érvényességét legalább 107-ig tesztelték.[9] Ha a sejtés igaz, akkor létezik (nem feltétlenül különböző) prímszámok p1, p2, p3… sorozata, amire igaz, hogy az n-edik kolosszálisan bővelkedő szám:

 

Ha a sejtés igaz, ez a sorozat így kezdődik: 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (A073751 sorozat az OEIS-ben). Alaoglu és Erdős sejtéséből az is következne, hogy nincs olyan ε érték, amire négy különböző n szám is kiadja a fenti függvény maximumát.

A Riemann-sejtéssel való kapcsolatukSzerkesztés

Az 1980-as években Guy Robin igazolta,[10] hogy a Riemann-sejtés ekvivalens azzal az állítással, hogy a következő egyenlőtlenség igaz minden n > 5040 esetre: (ahol γ az Euler–Mascheroni-állandó)

 

Ismert, hogy az egyenlőtlenség nem teljesül a következő 27 számra: (A067698 sorozat az OEIS-ben):

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040.

Robin bebizonyította, hogy ha a Riemann-sejtés igaz, akkor n = 5040 az utolsó egész, amire az egyenlőtlenség hamis. Munkája nyomán nevezik az egyenlőtlenséget Robin-egyenlőtlenségnek. Tudjuk, hogy ha a Robin-egyenlőtlenség egy további számra nem teljesülne, akkor az a szám kolosszálisan bővelkedő szám lesz; a Riemann-sejtés tehát ekvivalens azzal az állítással, hogy a Robin-egyenlőtlenség minden n > 5040 kolosszálisan bővelkedő számra igaz..

2001–2002-ben Lagarias[7] bemutatta Robin sejtésének egy alternatív alakját, amihez nincs szükség kivételek megállapítására. Lagarias logaritmus helyett harmonikus számokat használ:

 

Vagy, ha a 8 kivételtől eltekintünk (n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60):

 

JegyzetekSzerkesztés

  1. K. Briggs, "Abundant Numbers and the Riemann Hypothesis", Experimental Mathematics 15:2 (2006), pp. 251–256, doi:10.1080/10586458.2006.10128957.
  2. S. Ramanujan, "Highly Composite Numbers", Proc. London Math. Soc. 14 (1915), pp. 347–407, Mathematical Review.
  3. S. Ramanujan, Collected papers, Chelsea, 1962.
  4. S. Ramanujan, "Highly composite numbers. Annotated and with a foreword by J.-L. Nicholas and G. Robin", Ramanujan Journal 1 (1997), pp. 119–153.
  5. Alaoglu, L. & Erdös, P. (1944), "On highly composite and similar numbers", Transactions of the American Mathematical Society 56: 448–469, doi:10.2307/1990319, <http://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-03.pdf>.
  6. a b G. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers. Fifth Edition, Oxford Univ. Press, Oxford, 1979.
  7. a b J. C. Lagarias, An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis, American Mathematical Monthly 109 (2002), pp. 534–543.
  8. P. Erdős, J.-L. Nicolas, "Répartition des nombres superabondants", Bull. Math. Soc. France 103 (1975), pp. 65–90. [1]
  9. Sloane's A073751: Prime numbers that when multiplied in order yield the sequence of colossally abundant numbers"
  10. G. Robin, "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 63 (1984), pp. 187–213.

További információkSzerkesztés