Landau-problémák

Az 1912-es Nemzetközi Matematikai Kongresszuson Edmund Landau négy egyszerű, prímszámokkal kapcsolatos problémát vázolt föl. Beszédében ezeket a problémákat úgy jellemezte, mint amelyekkel az akkori tudomány nem képes mit kezdeni („unattackable at the present state of science”) és attól kezdve Landau-féle problémák néven ismeretesek. A Landau-problémák a következők:

  1. Goldbach-sejtés: Felírható-e minden 2-nél nagyobb egész szám két prímszám összegeként?
  2. Ikerprím-sejtés: Létezik-e végtelen sok p prím, melyre p + 2 is prímszám?
  3. Legendre-sejtés: Található-e mindig legalább egy prímszám két egymást követő négyzetszám között?
  4. Létezik-e végtelen sok p prímszám, melyre p − 1 négyzetszám? Másként fogalmazva: létezik-e végtelen sok n2 + 1 alakú prímszám? (A002496 sorozat az OEIS-ben).

Jelenleg (2016) mind a négy probléma megoldatlan.

A megoldás felé vezető lépésekSzerkesztés

Goldbach-sejtésSzerkesztés

A Vinogradov-tétel igazolja a gyenge Goldbach-sejtést kellően nagy n-ekre. 2013-ban Harald Helfgott bizonyította a gyenge sejtést minden 5-nél nagyobb páratlan számra.[1][2][3]

A Chen-tétel kimondja, hogy kellően nagy n-re  , ahol p prím, q pedig prím vagy félprím. Montgomery és Vaughan megmutatták, hogy a kivételhalmaz (két prímszám összegével nem kifejezhető páros számok) természetes sűrűsége zéró.[4]

Tomohiro Yamada igazolta a Chen-tétel egy explicit változatát,[5] mely szerint minden   páros szám felírható egy prím és egy prím vagy félprím összegeként.

Ikerprím-sejtésSzerkesztés

Yitang Zhang[6] megmutatta, hogy végtelen sok, egymástól legfeljebb 70 millió távolságra lévő prímpáros létezik, ezt az eredményt matematikusok összehangolt munkájával sikerült 246-os prímhézagra javítani.[7] Ha az általánosított Elliott–Halberstam-sejtés igaz, a prímhézagot 6-ra sikerült javítani, kiterjesztve Maynard,[8] valamint Goldston, Pintz & Yıldırım korábbi munkáit.[9]

Chen megmutatta, hogy végtelen sok olyan p prím (későbbi nevükön Chen-prímek) létezik, melyekre p+2 prím vagy félprím.

Legendre-sejtésSzerkesztés

Elegendő azt vizsgálni, hogy a p-vel kezdődő prímszámhézag kisebb-e, mint  . A maximális prímhézagok táblázata alapján a sejtés biztosan igaz 4 · 1018-ig.[10] Egy 1018 körüli ellenpéldának a szokásos prímszámhézag 50 milliószorosát kellene teljesíteni. Matomäki eredménye szerint legfeljebb   olyan kivételes prím létezik, melyeket  -nál nagyobb hézag követ; formálisan:

 [11]

Ingham igazolta, hogy kellően nagy n-ekre biztosan létezik prímszám   és   között.[12]

Csaknem négyzetszám prímekSzerkesztés

Az 1997-ben igazolt Friedlander–Iwaniec-tétel szerint végtelen sok  .[13] alakú prímszám létezik. Iwaniec megmutatta, hogy végtelen sok   alakú szám létezik legfeljebb két prímtényezővel (tehát prímek vagy félprímek).[14][15]

Az ellenkező irányt tekintve, a Brun-szita megmutatja, hogy   ilyen prímszám létezik x-ig.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem" arXiv:1305.2897
  2. Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". arXiv:1205.5252
  3. Helfgott, H.A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748
  4. Montgomery, H. L. (1975). „The exceptional set in Goldbach's problem”. Acta Arithmetica 27, 353–370. o.  
  5. Yamada, Tomohiro (2015-11-11). "Explicit Chen's theorem". arXiv:1511.03409
  6. Yitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014), pp. 1121–1174 from Volume 179 (2014), Issue 3
  7. D.H.J. Polymath (2014). „Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes”. Research in the Mathematical Sciences 1. DOI:10.1186/s40687-014-0012-7.  
  8. J. Maynard, Small gaps between primes. To appear, Annals of Mathematics.
  9. Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Small Gaps between Primes Exist Archiválva 2009. március 27-i dátummal a Wayback Machine-ben. Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.
  10. Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps.
  11. Kaisa Matomäki (2007). „Large differences between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics 58, 489–518. o. DOI:10.1093/qmath/ham021.  .
  12. Ingham, A. E. (1937). „On the difference between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics Oxford 8 (1), 255–266. o. DOI:10.1093/qmath/os-8.1.255.  
  13. Friedlander, John & Iwaniec, Henryk (1997), "Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a  polynomial", PNAS 94 (4): 1054–1058, DOI 10.1073/pnas.94.4.1054.
  14. Iwaniec, H. (1978). „Almost-primes represented by quadratic polynomials”. Inventiones Mathematicae 47 (2), 178–188. o. DOI:10.1007/BF01578070.  
  15. Robert J. Lemke Oliver (2012). „Almost-primes represented by quadratic polynomials”. Acta Arithmetica 151, 241–261. o. DOI:10.4064/aa151-3-2.  [halott link].

További információkSzerkesztés