Másodrendű nyomaték

A másodrendű nyomaték vagy inercianyomaték a síkidom jellemzője, melyet az ilyen keresztmetszetű rúd hajlítással szembeni ellenállásának és lehajlásának számítására használnak. Hasonló a szerepe hajlításnál, mint csavarásnál a poláris másodrendű nyomatéknak.

A másodrendű nyomaték nem tévesztendő össze a tehetetlenségi nyomatékkal, melyet dinamikai számításoknál használnak. Mérnökök sokszor tehetetlenségi nyomaték nevet használnak másodrendű nyomaték helyett, ami zavaró lehet. Hogy melyik fogalomról van szó, azt a mértékegységből könnyen meg lehet állapítani.

DefinícióSzerkesztés

A tengelyre számított másodrendű nyomaték(más szóval ekvatoriális másodrendű nyomaték):

 

ahol

  •   = a másodrendű nyomaték az   tengely körül
  •   = egy elemi terület
  •   =   elem távolsága az   tengelytől

MértékegységeSzerkesztés

A másodrendű nyomaték SI egysége méter a negyedik hatványon (m4).

Különböző keresztmetszetek másodrendű nyomatéka (Lásd még Másodrendű nyomatékok listája más keresztmetszetekre.)

Téglalap keresztmetszet (x és y tengelyek a súlyponton mennek át)

 
  •   = szélesség (x-irányban),
  •   = magasság (y-irányban)
 
  •   = szélesség (x-irányban),
  •   = magasság (y-irányban)

KörkeresztmetszetSzerkesztés

 
  •   = sugár,
  •   = átmérő

Steiner-tételSzerkesztés

A Steiner-tétel segítségével egy síkidom másodrendű nyomatéka határozható meg tetszőleges tengelyre, ha a súlyponti, vele párhuzamos tengelyre ismert a másodrendű nyomaték és a tengelynek a súlyponti tengelytől való távolsága.

 
  •   = másodrendű nyomaték a z-tengelyre,
  •   = másodrendű nyomaték a z tengellyel párhuzamos súlyponti tengelyre, (egybeesik a semleges tengellyel),
  •   = a síkidom területe,
  •   = a két tengely közötti távolság

Összetett keresztmetszetekSzerkesztés

Gyakran egyszerűbb egy síkidomot részekre bontani, egyenként kiszámítani saját súlyponti tengelyükre a másodrendű nyomatékot, majd a Steiner-tétel segítségével összegezni.

 
 
  •   = távolság az x-tengelytől
  •   = távolság az y-tengelytől
  •   = a rész területe
  •   a rész tehetetlenségi nyomatéka a megfelelő irányban (azaz   illetve  ).

"I-tartó" keresztmetszetSzerkesztés

Az I-tartót vagy három téglalap összegeként vagy egy nagy téglalap és két kis téglalap különbségeként lehet számítani.

  •   = szélesség (x-irányban),
  •   = magasság (y-irányban)
  •   = a gerinc szélessége
  •   = a két szalag távolsága

A következő képlet a nagy téglalapból kivonva a kis téglalapokat módszert használja. Az x-tengelyre vett másodrendű nyomaték:

 

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomaték számításánál figyelembe kell venni, hogy az eltávolítandó részek másodrendű nyomatékát a Steiner-tétellel kell számítani:

 
  •   = a levonandó részek területe,
  •   = a levonandó részek súlypontjának távolsága az y-tengelytől.

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomatékot egyszerűbben lehet kiszámítani, ha az I-tartót három téglalap összegére bontjuk, mert akkor mindegyik rész súlypontja a tengelyre esik:

 

Centrifugális másodrendű nyomatékSzerkesztés

Az Ixy centrifugális másodrendű nyomaték definíciós képlete:

 
  •   = elemi terület,
  •   = az elemi   terület távolsága az y tengelytől,
  •   = az elemi   terület távolsága az x tengelytől.

A centrifugális másodrendű nyomaték ismeretére akkor van szükség, ha aszimmetrikus keresztmetszetű rúd hajlításakor ébredő feszültségeket számítjuk. A másodrendű nyomatéktól eltérően a centrifugális másodrendű nyomaték értéke pozitív és negatív is lehet. Azokat az egymásra merőleges tengelyeket, melyekre a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értéke zéró, a keresztmetszet főtengelyeinek hívjuk. Szimmetriatengelyek mindig főtengelyek.

A centrifugális másodrendű nyomaték használható az eredeti koordináta-rendszerhez képest elforgatott rendszerben vett másodrendű nyomatékok számításához:

 
 
 
  •   = az elfordulás szöge
  •  ,   és   = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az eredeti koordináta-rendszerben,
  •  ,   és   = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az elforgatott koordináta-rendszerben.

Az a   szög, mellyel el kell fordítani a koordináta-rendszert, hogy a centrifugális nyomaték zéró legyen:

 

Ez a szög az, amit az eredeti koordináta-rendszer tengelyei a főtengelyekkel bezárnak.

Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomaték eseténSzerkesztés

A centrifugális másodrendű nyomatékokra is létezik Steiner-tétel, ám ekkor a Steiner-tag más. Egy síkidom tetszőleges helyzetű centrifugális másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha a velük párhuzamos súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékhoz hozzáadjuk az előjeles súlypont-koordinátáknak és a síkidom területének szorzatát.

 
  •   = centrifugális másodrendű nyomaték a xy-tengelyre,
  •   =centrifugális másodrendű nyomaték az xy tengelyekkel párhuzamos súlyponti tengelyekre,,
  •   = a síkidom területe,
  •   = síkidom súlypontjának koordinátái az xy koordinátarendszerben

Bizonyítás:

Mivel a koordináták közötti összefüggések:

 
 

így fel tudjuk írni az x,y tengelypárra számított centrifugális másodrendű nyomatékokat a következő alakban is

 
 
 

Ahol

  •   = u súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték
  •   =v súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték

Az u,v súlyponti tengelyekre a statikai (elsőrendű) nyomatékok zérus értékűek, ezért adódik, hogy

  .

A hajlított tartó feszültségeiSzerkesztés

Az hajlított tartóban ébredő feszültség általános esetben:

 
  •   a hajlítófeszültség
  •   = az y-tengelytől mért távolság
  •   = az x-tengelytől mért távolság
  •   = hajlítónyomaték az y-tengely körül
  •   = hajlítónyomaték az x-tengely körül
  •   = másodrendű nyomaték az x-tengelyre
  •   = másodrendű nyomaték az y-tengelyre
  •   = centrifugális nyomaték

Tehetetlenségi főtengelyek esetében

 

Ha csak egyik tengely körül ébred hajlítónyomaték:

 

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Flächenträgheitsmoment című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.