Másodrendű nyomaték

A másodrendű nyomaték vagy inercianyomaték a síkidom jellemzője, melyet az ilyen keresztmetszetű rúd hajlítással szembeni ellenállásának és lehajlásának számítására használnak. Hasonló a szerepe hajlításnál, mint csavarásnál a poláris másodrendű nyomatéknak.

A másodrendű nyomaték nem tévesztendő össze a tehetetlenségi nyomatékkal, melyet dinamikai számításoknál használnak. Mérnökök sokszor tehetetlenségi nyomaték nevet használnak másodrendű nyomaték helyett, ami zavaró lehet. Hogy melyik fogalomról van szó, azt a mértékegységből könnyen meg lehet állapítani.

Definíció

A tengelyre számított másodrendű nyomaték(más szóval ekvatoriális másodrendű nyomaték):

$I_{x}=\int y^{2}\,dA$

ahol

• $I_{x}\,$ = a másodrendű nyomaték az $x\,$ tengely körül
• $dA\,$ = egy elemi terület
• $y\,$ = $dA\,$ elem távolsága az $x\,$ tengelytől

Mértékegysége

A másodrendű nyomaték SI egysége méter a negyedik hatványon (m⁴).

Különböző keresztmetszetek másodrendű nyomatéka (Lásd még Másodrendű nyomatékok listája más keresztmetszetekre.)

Téglalap keresztmetszet (x és y tengelyek a súlyponton mennek át)

$I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}$

• $b\,$ = szélesség (x-irányban),
• $h\,$ = magasság (y-irányban)

$I_{y}={\frac {hb^{3}}{12}}$

• $b\,$ = szélesség (x-irányban),
• $h\,$ = magasság (y-irányban)

Körkeresztmetszet

$I_{0}={\frac {\pi d^{4}}{64}}$

• $r\,$ = sugár,
• $d\,$ = átmérő

Steiner-tétel

A Steiner-tétel segítségével egy síkidom másodrendű nyomatéka határozható meg tetszőleges tengelyre, ha a súlyponti, vele párhuzamos tengelyre ismert a másodrendű nyomaték és a tengelynek a súlyponti tengelytől való távolsága.

$I_{z}=I_{CG}+Ad^{2}\,$

• $I_{z}\,$ = másodrendű nyomaték a z-tengelyre,
• $I_{CG}\,$ = másodrendű nyomaték a z tengellyel párhuzamos súlyponti tengelyre, (egybeesik a semleges tengellyel),
• $A\,$ = a síkidom területe,
• $d\,$ = a két tengely közötti távolság

Összetett keresztmetszetek

Gyakran egyszerűbb egy síkidomot részekre bontani, egyenként kiszámítani saját súlyponti tengelyükre a másodrendű nyomatékot, majd a Steiner-tétel segítségével összegezni.

$I_{x}=\sum \left(y^{2}A+I_{\mathrm {local} }\right)$

$I_{y}=\sum \left(x^{2}A+I_{\mathrm {local} }\right)$

• $y\,$ = távolság az x-tengelytől
• $x\,$ = távolság az y-tengelytől
• $A\,$ = a rész területe
• $I_{local}\,$ a rész tehetetlenségi nyomatéka a megfelelő irányban (azaz $I_{x}\,$ illetve $I_{y}\,$).

"I-tartó" keresztmetszet

Az I-tartót vagy három téglalap összegeként vagy egy nagy téglalap és két kis téglalap különbségeként lehet számítani.

• $b\,$ = szélesség (x-irányban),
• $h\,$ = magasság (y-irányban)
• $t_{w}\,$ = a gerinc szélessége
• $h_{1}\,$ = a két szalag távolsága

A következő képlet a nagy téglalapból kivonva a kis téglalapokat módszert használja. Az x-tengelyre vett másodrendű nyomaték:

$I_{x}={\frac {{bh^{3}}-2{{\frac {b-t_{w}}{2}}{h_{1}}^{3}}}{12}}$

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomaték számításánál figyelembe kell venni, hogy az eltávolítandó részek másodrendű nyomatékát a Steiner-tétellel kell számítani:

$I_{y}={\frac {hb^{3}}{12}}-2\left({{\frac {h_{1}\left({\frac {b-t_{w}}{2}}\right)^{3}}{12}}+Ax^{2}}\right)$

• $A=h_{1}{\frac {b-t_{w}}{2}}$ = a levonandó részek területe,
• $x={\frac {b+t_{w}}{4}}$ = a levonandó részek súlypontjának távolsága az y-tengelytől.

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomatékot egyszerűbben lehet kiszámítani, ha az I-tartót három téglalap összegére bontjuk, mert akkor mindegyik rész súlypontja a tengelyre esik:

$I_{y}={\frac {h_{1}{t_{w}}^{3}}{12}}+2{\frac {{\frac {h-h_{1}}{2}}b^{3}}{12}}$

Centrifugális másodrendű nyomaték

Az I_xy centrifugális másodrendű nyomaték definíciós képlete:

$I_{xy}=-\int xy\,dA$

• $dA\,$ = elemi terület,
• $x\,$ = az elemi $dA\,$ terület távolsága az y tengelytől,
• $y\,$ = az elemi $dA\,$ terület távolsága az x tengelytől.

A centrifugális másodrendű nyomaték ismeretére akkor van szükség, ha aszimmetrikus keresztmetszetű rúd hajlításakor ébredő feszültségeket számítjuk. A másodrendű nyomatéktól eltérően a centrifugális másodrendű nyomaték értéke pozitív és negatív is lehet. Azokat az egymásra merőleges tengelyeket, melyekre a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értéke zéró, a keresztmetszet főtengelyeinek hívjuk. Szimmetriatengelyek mindig főtengelyek.

A centrifugális másodrendű nyomaték használható az eredeti koordináta-rendszerhez képest elforgatott rendszerben vett másodrendű nyomatékok számításához:

${I_{x}}^{*}={\frac {I_{x}+I_{y}}{2}}+{\frac {I_{x}-I_{y}}{2}}\cos(2\varphi )+I_{xy}\sin(2\varphi )$

${I_{y}}^{*}={\frac {I_{x}+I_{y}}{2}}-{\frac {I_{x}-I_{y}}{2}}\cos(2\varphi )-I_{xy}\sin(2\varphi )$

${I_{xy}}^{*}=-{\frac {I_{x}-I_{y}}{2}}\sin(2\varphi )+I_{xy}\cos(2\varphi )$

• $\varphi \,$ = az elfordulás szöge
• $I_{x}\,$, $I_{y}\,$ és $I_{z}\,$ = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az eredeti koordináta-rendszerben,
• ${I_{x}}^{*}\,$, ${I_{y}}^{*}\,$ és ${I_{xy}}^{*}\,$ = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az elforgatott koordináta-rendszerben.

Az a $\varphi$ szög, mellyel el kell fordítani a koordináta-rendszert, hogy a centrifugális nyomaték zéró legyen:

$\varphi ={\frac {1}{2}}\arctan {\frac {2I_{xy}}{I_{x}-I_{y}}}$

Ez a szög az, amit az eredeti koordináta-rendszer tengelyei a főtengelyekkel bezárnak.

Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomaték esetén

A centrifugális másodrendű nyomatékokra is létezik Steiner-tétel, ám ekkor a Steiner-tag más. Egy síkidom tetszőleges helyzetű centrifugális másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha a velük párhuzamos súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékhoz hozzáadjuk az előjeles súlypont-koordinátáknak és a síkidom területének szorzatát.

$I_{xy}=I_{uv}+x_{s}y_{s}A\,$

• $I_{xy}\,$ = centrifugális másodrendű nyomaték a xy-tengelyre,
• $I_{uv}\,$ =centrifugális másodrendű nyomaték az xy tengelyekkel párhuzamos súlyponti tengelyekre,,
• $A\,$ = a síkidom területe,
• $x_{s},y_{s}\,$ = síkidom súlypontjának koordinátái az xy koordinátarendszerben

Bizonyítás:

Mivel a koordináták közötti összefüggések:

$x=u+x_{s}\,$

$y=v+y_{s}\,$

így fel tudjuk írni az x,y tengelypárra számított centrifugális másodrendű nyomatékokat a következő alakban is

$I_{xy}=\int xy\,dA=\int (u+x_{s})(v+y_{s})\,dA=\,$

$\int uv\,dA+y_{s}\int u\,dA+x_{s}\int v\,dA+x_{s}y_{s}\int \,dA=\$

$I_{uv}+y_{s}S_{v}+x_{s}S_{u}+x_{s}y_{s}A,\$

Ahol

• $S_{u}\,$ = u súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték
• $S_{v}\,$ =v súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték

Az u,v súlyponti tengelyekre a statikai (elsőrendű) nyomatékok zérus értékűek, ezért adódik, hogy

$I_{xy}=I_{uv}+x_{s}y_{s}A\,$ .

A hajlított tartó feszültségei

A hajlított tartóban ébredő feszültség általános esetben:

$\sigma =-{\frac {M_{y}I_{x}+M_{x}I_{xy}}{I_{x}I_{y}-{I_{xy}}^{2}}}x+{\frac {M_{x}I_{y}+M_{y}I_{xy}}{I_{x}I_{y}-{I_{xy}}^{2}}}y$

• $\sigma \,$ a hajlítófeszültség
• $x\,$ = az y-tengelytől mért távolság
• $y\,$ = az x-tengelytől mért távolság
• $M_{y}\,$ = hajlítónyomaték az y-tengely körül
• $M_{x}\,$ = hajlítónyomaték az x-tengely körül
• $I_{x}\,$ = másodrendű nyomaték az x-tengelyre
• $I_{y}\,$ = másodrendű nyomaték az y-tengelyre
• $I_{xy}\,$ = centrifugális nyomaték

Tehetetlenségi főtengelyek esetében

$\sigma =-{\frac {M_{y}}{I_{y}}}x+{\frac {M_{x}}{I_{x}}}y$

Ha csak egyik tengely körül ébred hajlítónyomaték:

${\sigma }={\frac {My}{I_{x}}}$

Kapcsolódó szócikkek

• Poláris másodrendű nyomaték
• Elsőrendű nyomaték
• Tehetetlenségi nyomaték
• Másodrendű nyomatékok listája

Források

• Mechanics of solids and structures, Benham, P.P. ISBN 0273361910
• Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963 10 359 13

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Flächenträgheitsmoment című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.