Főmenü megnyitása
A tehetetlenségi nyomaték bemutatása

A tehetetlenségi nyomaték (SI egysége a kg×m²), a tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Szokásos jelölése , vagy .

ÁttekintésSzerkesztés

Egy merev test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengely körül azt adja meg, hogy „mennyire nehéz” megváltoztatni a szögsebességét a tengely körül.

Analógia: A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg jelent. Mégpedig azt, hogy mekkora energiát tárol adott test, adott mozgásállapotával. A tárolt energia és a tehetetlenségi nyomaték(vagy analógia esetében a tömeg) egyenes arányosságban áll egymással.

Szemléltetésként vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő. Az A tárcsa sugara legyen nagyobb, mint B sugara. Feltételezve, hogy a tárcsák anyaga homogén és vastagságuk azonos, nehezebb felgyorsítani (azaz a szögsebességét növelni) az A tárcsát, mivel tömege átlagosan távolabb van a tengelytől. Azt mondjuk, hogy A tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint B tehetetlenségi nyomatéka.

A tehetetlenségi nyomatéknak két alakja van, az egyiket, az   skaláris alakot akkor használjuk, ha az   forgás tengelyét ismerjük, a másik, általánosabb   tenzor alakjához nem kell ismernünk a forgástengelyt. A skalár tehetetlenségi nyomatékot gyakran egyszerűen „tehetetlenségi nyomatéknak” nevezik. Nem szabad összetéveszteni a tehetetlenségi nyomatékot a (síkidomok) másodrendű nyomatékával, melyet azonos módon  -vel jelölnek. A legegyszerűbben a mértékegységek alapján lehet őket egymástól megkülönböztetni.

Hasonlóképpen a tehetetlenségi nyomatékot nem szabad összekeverni a poláris másodrendű nyomatékkal, mely egy rúd csavarással szembeni ellenállásának mértéke.

DefinícióSzerkesztés

Egy tengely körül forgó tömegpont skalár tehetetlenségi nyomatékát a

 

definiálja, ahol

  a tömege és
  a forgástengelytől mért távolsága

A tehetetlenségi nyomaték additív, így egy   darab   tömegű, a forgástengelytől egyenként   sugáron elhelyezett tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével

 

Folytonos   sűrűségű merev test ismert forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékának integrálásával számíthatjuk ki:

 

ahol

  a test térfogata,
  a forgástengelytől mért távolság,
  a tömeg,
  a térfogat,
  a test pontszerű sűrűségének függvénye és
 ,  ,   a derékszögű koordináták.

Közelítő képletekSzerkesztés

Egyes nem pontszerű testek tehetetlenségi nyomatékát közelíteni lehet a következő egyszerű képlettel:

 

ahol

  a testre jellemző tényező,
  a test tömege és
  a test sugara a forgástengelytől mérve.

A   tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az   sugár pedig a test legtávolabbi pontjának távolsága a forgástengelytől. Például:

  •   – vékony gyűrű vagy vékony falú henger geometriai tengelye körül forgatva
  •   – tömör gömb geometriai tengelye körül forgatva

Más nem pontszerű testeknél a képlet:

 

ahol

  a testre jellemző tényező,
  a test tömege és
  a test átmérője.

A   tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az   átmérő pedig a test két legtávolabbi pontjának távolsága. Például:

  •   – vékony rúd tengelye körül forgatva.
  •   – vékony rúd egyik vége körül forgatva

Párhuzamos tengelyek tételeSzerkesztés

Ha a tehetetlenségi nyomaték egy, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozólag ismert, akkor ezzel párhuzamos tengelyre könnyen kiszámítható. Ha az új tengely   távolságra van a tömegközépponton átmenő tengelytől (például egy tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a palástjára illeszkedő tengely körül), az erre számított tehetetlenségi nyomaték:

 

ahol

  a merev test tömege,
  az új tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték,
  a tömegközépponton áthaladó tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték és
  a tengely távolsága a tömegközépponton átmenő tengelytől.

Ezt a tételt Steiner-tételnek, vagy az angolszász irodalomban Huygens-Steiner-tételnek is nevezik.

Mozgási energiaSzerkesztés

A rendszer mozgási energiáját a tehetetlenségével lehet kifejezni.   számú, egyenként   tömeggel rendelkező,   sebességű pont   mozgási energiája egyenlő:

 

Egy merev testre, mely   szögsebességgel forog, a sebességek így írhatók:

  (omega dimenziója: rad/sec)

ahol ismét   a tömegpont tengelytől mért távolsága. Ezzel a mozgási energia így írható:

 

És végül a végképletre írható:

 

Impulzusmomentum és nyomatékSzerkesztés

Egy tömegpontokból álló rendszer   impulzusmomentumát a   impulzusából és a tömegpontnak a forgástengelytől számított   távolságából a következőképpen lehet kiszámítani:

 

Az   egységvektorral jellemzett forgástengely körül   szögsebességgel forgó merev test tetszőleges pontjának   sebességvektorára írható a következő vektoriális szorzat:

 

ahol

a szögsebességvektor   és
  a forgástengelyt a tömegponttal összekötő legrövidebb vektor.

Behelyettesítve a   összefüggését az   definíciójába:

 

ahol felhasználtuk azt, hogy az   vektorok merőlegesek a forgástengelyre (például egy lendkeréknél):  .

Az   nyomaték az   impulzusmomentum változási sebessége:

 

Ha az   tehetetlenségi nyomaték állandó (vagy azért, mert a fő tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek vagy azért, mert a nyomaték az   forgástengely körül forgatja a testet és így   nem változik), írható:

 

ahol

  az úgynevezett szöggyorsulás az   tengely körül.

Megjegyezzük, ha   nem állandó a külső koordináta-rendszerben (vagyis a szabad tengellyel rendelkező rendszer fő tehetetlenségi nyomatékai nem egyenlőek), a tehetetlenségi nyomatékot nem lehet a deriváltból kiemelni. Ez az eset a nyomatékmentes szabad precesszió.

Tehetetlenségi nyomaték tenzorSzerkesztés

Ugyanannak a testnek a különböző tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatéka különböző. Például a három derékszöget bezáró ( ,   és  ) koordinátatengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka

  az   tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
  az   tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
  a   tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

nem biztos, hogy egyenlőek, hacsak a test nem szimmetrikus minden tengelyre. A tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével kényelmesen foglalhatjuk egy mennyiségbe egy test összes tehetetlenségi nyomatékát.

DefinícióSzerkesztés

Egy merev test   darab   tömegpontjának tehetetlenségi tenzora az alábbi alakú:

 .

Elemei az alábbiak szerint definiálhatók:

 ,
 ,
 ,
 ,
  és
 

derékszögű   koordinátákra, ahol az origó a test súlypontjában van. Itt   jelöli az  -tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az  -tengely körül forog,   jelöli az  -tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az  -tengely körül forog, és így tovább.

Ezeket a mennyiségeket általánosítani lehet folytonos tömegeloszlású testekre is, hasonlóan a skalár tehetetlenségi nyomatékhoz. Írható:

 

ahol   és   a 3 x 3 egységmátrix.

Redukció skalár alakraSzerkesztés

Az   skalár bármely   tengelyre a   tenzorból számítható kétszeres skalárszorzat segítségével:

 

ahol az összegezés a három derékszögű koordinátára terjed ki.

Fő tehetetlenségi nyomatékokSzerkesztés

Mivel a tenzor valós, szimmetrikus mátrix, található olyan derékszögű koordináta-rendszer, melyben diagonálmátrix lesz, vagyis ilyen alakú:

 

ahol a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelynek hívják és a  ,   és   állandókat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak és általában növekvő sorrendbe rendezik:

 

A főtengelyek irányába eső egységvektorokat általában így jelölik:  .

Ha mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, akkor bármilyen irányú súlyponton átfektetett tengely tehetetlenségi főtengely.

A főtengelyek gyakran esnek a test szimmetriatengelyeire.

Ha egy merev test egy tengelyre  -ed rendű szimmetriával rendelkezik, vagyis szimmetrikus   forgatások alatt egy tengelyre, a szimmetriatengely főtengely. Ha  , akkor két fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Ha a merev testnek van legalább két szimmetriatengelye, mely nem merőleges egymásra, akkor mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, például a kocka ilyen (vagy bármely más szabályos test).

Steiner-tételSzerkesztés

Ha a tehetetlenségi tenzor ismert a súlypontra, hasznos módszer a Steiner-tétellel kiszámítani a súlyponttól eltérő tengelyekre. Ha a forgástengelyt   helyvektorral eltoljuk a súlyponti tengelytől, az új tehetetlenségi tenzor egyenlő:

 

ahol   a merev test tömege és   a Kronecker delta függvény.

Más mechanikai mennyiségekSzerkesztés

A   tenzor segítségével a mozgási energia kétszeres skalárszorzatként írható:

 

az impulzusmomentum pedig egyszeres skalár szorzatként:

 

A fentiek segítségével a mozgási energia az impulzusmomentum függvényében írható fel a főtengelyek koordináta-rendszerében:

 

ahol  

 -re.

Meghatározása mérésselSzerkesztés

A műszaki gyakorlatban néha szükség van ismeretlen tömegeloszlású testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározására. Ehhez először meg kell határozni a merev test tömegközéppontjának helyét. Ezután a testet fel kell függeszteni és ki kell mozdítani nyugalmi helyzetéből. A test fizikai ingaként lengésbe jön. A   lengésidőből, a tömegközéppontnak a felfüggesztési ponttól mért   távolságából és a test   tömegéből a tehetetlenségi nyomaték kiszámítható:

 

Lásd mégSzerkesztés

ForrásSzerkesztés

  • Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
  • Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
  • Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

Külső hivatkozásokSzerkesztés