Főmenü megnyitása

A perdület, más néven impulzusnyomaték, vagy impulzusmomentum a klasszikus fizikában egy test forgási mozgásállapotát jellemző vektormennyiség.

Jele: N, mértékegysége a kgm2/s, vagy az ezzel ekvivalens Nms. Jele a IUPAC dokumentumaiban L.

A kvantummechanikában az impulzusmomentum a hullámfüggvény forgatásokkal szembeni viselkedését leíró mennyiség. A nulla impulzusmomentum például azt jelenti, hogy a hullámfüggvény a forgatás során változatlan marad, azaz forgásszimmetrikus.

A klasszikus mechanikábanSzerkesztés

DefinícióSzerkesztés

Egy mozgó tömegpont adott pontra vonatkoztatott perdületét az alábbi kifejezés adja meg:  , ahol   a tömegpont adott vonatkoztatási pontból mért helyvektora, és   a lendülete, azaz a tömeg és a sebesség szorzata.[1]

A vektorszorzat definíciója alapján az  , a   és az   vektorok jobbsodrású vektorrendszert alkotnak, és az impulzusnyomaték nagysága a következő szerint számolható:

 , ahol   a helyvektor és az impulzus által bezárt szög.

Több tömegpontból álló rendszer adott pontra vonatkoztatott teljes perdülete az egyes pontok perdületeinek vektori eredője:

 

Merev testek rögzített tengely körüli forgása esetén az impulzusnyomatékot a fenti vektorszorzat helyett egyszerűbb alakban is felírhatjuk:

 , ahol   a forgás szögsebessége és   a test adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka.

A perdülettétel, azaz a perdület megváltozása és a forgatónyomatékSzerkesztés

 
A tömegpontra ható F erő τ forgatónyomatéka és a pont mozgásához tartozó p lendület, illetve L perdület

Legyen egy tömegpont esetén a rá ható   erő adott pontra vonatkozó forgatónyomatéka:  , ahol a forgatónyomatékot az animáción  -val jelölt helyett a szokásosabb   jelöli. A perdülettétel szerint a perdület megváltozását a forgatónyomaték okozza, és a perdület idő szerint deriváltja megegyezik a forgatónyomatékkal. Tehát:  .

A perdület megmaradásának törvényeSzerkesztés

A fentiek alapján, ha a forgatónyomatékok eredője nulla, akkor a perdület állandó:   Ez a perdületmegmaradás törvénye.

Merev test forgásegyenleteSzerkesztés

Merev test tengely körüli forgásánál az impulzusnyomaték a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzata, ezért a perdület időbeli deriváltja a következő alakban is felírható:

 , ahol   a test forgásához tartozó szöggyorsulás.

A perdülettétel ebben az esetben a test forgását leíró egyenlet, az úgynevezett forgásegyenlet is egyben:

 

Ha a forgatónyomatékok eredője zérus, akkor a szöggyorsulás is zérus, azaz a merev test állandó szögsebességgel forog:  

A perdületmegmaradás alkalmazásaiSzerkesztés

 
A két ellentétes irányban ható, egyforma nagyságú Fg és -Fg erőből álló erőpár forgatónyomatéka merőleges a pörgettyű forgástengelyére, azaz pörgettyű perdületére. Mivel a perdület idő szerinti deriváltja megegyezik a forgatónyomatékkal, a perdület és ezzel a forgástengely iránya változik a forgatónyomaték irányában. Ezt hívjuk precessziónak

Amikor egy forgásban levő korcsolyázó a lábait és a karjait behúzza a törzséhez, a mozdulat során csökken a tehetetlenségi nyomatéka. Mivel külső forgatónyomaték nem hat rá, a perdületmegmaradás miatt a szögsebessége nőni fog, azaz forgása felgyorsul.

Ugyanez a helyzet az igen nagy sebességgel forgó kompakt csillagok, például a fehér törpék, neutroncsillagok és fekete lyukak esetén is, amikor azok sokkal nagyobb, lassabban forgó csillagokból keletkeznek. Így egy csillag nagyságának 104-ed részére való lecsökkenése forgási sebességének 108-szorosával való növekedését eredményezi.

A perdület megmaradása miatt a Föld–Hold rendszer esetében a Hold által okozott dagály a Hold forgási sebességének növekedésével jár, mivel a Föld a Holdnak átadja perdületének egy részét. Ahogy a Hold felgyorsul, a Föld lelassul, mégpedig egy nap alatt 42 nanomásodperccel, ugyanakkor a Hold keringési távolsága is megnő, mégpedig évente kb. négy és fél centiméterrel.

Centrális erőtér és a perdületmegmaradásSzerkesztés

Amennyiben a testre ható erők eredője centrális, azaz a test mozgása közben mindig egy adott pont felé mutat, akkor az erre a pontra vonatkoztatott forgatónyomaték zérus. Így az erre a pontra vonatkozó impulzusmomentum megmarad.

Impulzusnyomaték a tömegközépponti rendszerbenSzerkesztés

Több pontból álló rendszer esetén az impulzusnyomaték a tömegközéppont mozgásának ismeretében két részre bontható.[2] Magának a tömegközéppontnak a mozgásához tartozó pálya-impulzusmomentumra, és a rendszer tagjainak ehhez viszonyított mozgásához tartozó saját-impulzusmomentumra. Ez utóbbit nevezzük spinnek.

 

A relativisztikus mechanikábanSzerkesztés

A kvantummechanikábanSzerkesztés

A kvantummechanikában a perdületet a lendülethez hasonlóan a hullámfüggvényen ható operátorként definiáljuk:

 

Elektromos töltés és spin nélküli részecskére helyreprezentációban

 ,

ahol r a részecske helye,   a gradiens operátor.

A perdület-operátorok algebrájának jellemző tulajdonságai az alábbi kommutátorok:

 

L komponensei kommutálnak a spin és töltés nélküli részecske Hamilton-operátorával is, azaz megmaradó mennyiségek:

 

A perdület-operátor gyakran előfordul gömbszimmetrikus problémák megoldásakor. Gömbi koordináta-rendszerben, a helyreprezentációt használva az operátor alakja:

 

L2 és például Lz kommutál, ezért létezik közös sajátállapotrendszerük. Legyen egy ilyen állapotvektor |l,m>, ekkor a sajátértékegyenletek:

 
 

A sajátvektorok polárkoordináta-reprezentációban éppen a gömbfüggvények:

 

Mindez tulajdonképpen csak a perdület egy része, az ún. pályaperdület vagy pályamomentum. A relativisztikus kvantummechanikában megjelenik a spin, ami ilyen módon nem definiálható.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Holics László: Fizika, Akadémiai Kiadó, 2011
  2. Tasnádi P., Skrapits L., Bérces Gy.: Mechanika I., Dialóg Campus Kiadó, 2004

ForrásokSzerkesztés

További információkSzerkesztés