Megszüntethető szingularitás

A komplex analízisben egy holomorf függvény megszüntethető szingularitása egy pont, ahol a függvény nincs definiálva, de ki lehetne terjeszteni a függvényt úgy, hogy értelmezve legyen ebben a pontban, és reguláris maradjon.

Másodfokú függvény grafikonja (parabola) megszüntethető szingularitással az x = 2 helyen

Például a (nem normalizált) sinc függvénynek:

megszüntethető szingularitása van nullában, a megfelelő érték sinc(0) := 1. Ez a sinc függvény határértéke, ha változója, z tart a nullához. A kibővített függvény holomorf. A probléma abból fakadt, hogy a függvényt határozatlan formában adták meg. A hatványsora:

Formálisan, ha nyílt részhalmaza a komplex síknak, komplex szám -ban, és holomorf, akkor megszüntethető szingularitása, hogyha van egy függvény, ami megegyezik -fel ott, ahol az definiálva van. Azt mondjuk, hogy holomorf módon kiterjeszthető -ra, ha létezik ilyen függvény.

Riemann-tétel szerkesztés

Riemann tétele a megszüntethető szingularitásokról:

Legyen   tartomány, és  , továbbá   holomorf függvény. Ekkor, ha van  -nak egy   környezete  -ben úgy, hogy   korlátos  -ban, akkor egyértelműen van egy   egészfüggvény, hogy  .   egyértelműségét a holomorf függvények identitástétele biztosítja.

Sőt, a tétel egy másik megfogalmazása:

Legyen   a komplex sík nyílt részhalmaza,   komplex szám  -ben, és   holomorf  -ban. A következők ekvivalensek:

  1.   kiterjeszthető holomorf módon  -ra.
  2.   folytonosan kiterjeszthető  -ra.
  3. Van  -nak környezete, ahol   korlátos.
  4.  .

A tétel megfordítása szerkesztés

A tétel megfordítása ez:

Ha   holomorf függvény   egy környezetében, és   megszüntethető szingularitás, akkor korlátos   egy környezetében.

A megfordítás a folytonosság következménye. Ez különbözteti meg a megszüntethető szingularitást a többi szingularitástól, a lényeges szingularitástól és a pólustól.

Alkalmazása szerkesztés

A tétel felhasználható további bizonyításokhoz. Például belátható vele, hogy nincs a pontozott komplex síkon holomorf négyzetgyök függvény. Formálisan, nincs olyan a   halmazon holomorf   függvény, amikre   minden   esetén.

Indirekt feltéve, hogy mégis, abszolútértékére ekkor teljesül  . Eszerint   korlátos   egy környezetében, tehát a Riemann-tétel szerint kiterjeszthető teljes  -re holomorf módon. Ez azt is jelenti, hogy itt   folytonosan differenciálható, és deriváltja  .

Az identitástétel miatt  -nek és deriváltjának meg kell egyeznie  -ban. Azonban itt a deriváltnak a 0-hoz közeledve minden határon túl kell nőnie, így a határérték nem létezhet: