Megszüntethető szingularitás

A komplex analízisben egy holomorf függvény megszüntethető szingularitása egy pont, ahol a függvény nincs definiálva, de ki lehetne terjeszteni a függvényt úgy, hogy értelmezve legyen ebben a pontban, és reguláris maradjon.

Másodfokú függvény grafikonja (parabola) megszüntethető szingularitással az x = 2 helyen

Például a (nem normalizált) sinc függvénynek:

${\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}$

megszüntethető szingularitása van nullában, a megfelelő érték sinc(0) := 1. Ez a sinc függvény határértéke, ha változója, z tart a nullához. A kibővített függvény holomorf. A probléma abból fakadt, hogy a függvényt határozatlan formában adták meg. A ${\frac {\sin(z)}{z}}$ hatványsora:

${\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .$

Formálisan, ha $U\subset \mathbb {C}$ nyílt részhalmaza a komplex síknak, $a\in U$ komplex szám $U$-ban, és $f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C}$ holomorf, akkor $a$ $f$ megszüntethető szingularitása, hogyha van egy $g:U\rightarrow \mathbb {C}$ függvény, ami megegyezik $f$-fel ott, ahol az definiálva van. Azt mondjuk, hogy $f$ holomorf módon kiterjeszthető $U$-ra, ha létezik ilyen $g$ függvény.

Riemann-tétel

Riemann tétele a megszüntethető szingularitásokról:

Legyen $G\subseteq \mathbb {C}$ tartomány, és $z_{0}\in G$, továbbá $f\colon G{\setminus }\{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ holomorf függvény. Ekkor, ha van $z_{0}$-nak egy $U$ környezete $G$-ben úgy, hogy $f$ korlátos $U{\setminus }\{z_{0}\}$-ban, akkor egyértelműen van egy ${\tilde {f}}$ egészfüggvény, hogy ${\tilde {f}}|_{G{\setminus }\{z_{0}\}}=f$. ${\tilde {f}}$ egyértelműségét a holomorf függvények identitástétele biztosítja.

Sőt, a tétel egy másik megfogalmazása:

Legyen $D\subset \mathbb {C}$ a komplex sík nyílt részhalmaza, $a\in D$ komplex szám $D$-ben, és $f$ holomorf $D\setminus \{a\}$-ban. A következők ekvivalensek:

1. $f$ kiterjeszthető holomorf módon $a$-ra.
2. $f$ folytonosan kiterjeszthető $a$-ra.
3. Van $a$-nak környezete, ahol $f$ korlátos.
4. $\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0$.

A tétel megfordítása

A tétel megfordítása ez:

Ha $f$ holomorf függvény $z_{0}$ egy környezetében, és $z_{0}$ megszüntethető szingularitás, akkor korlátos $z_{0}$ egy környezetében.

A megfordítás a folytonosság következménye. Ez különbözteti meg a megszüntethető szingularitást a többi szingularitástól, a lényeges szingularitástól és a pólustól.

Alkalmazása

A tétel felhasználható további bizonyításokhoz. Például belátható vele, hogy nincs a pontozott komplex síkon holomorf négyzetgyök függvény. Formálisan, nincs olyan a $\mathbb {C} {\setminus }\{0\}$ halmazon holomorf $f$ függvény, amikre $f(z)^{2}=z$ minden $z\neq 0$ esetén.

Indirekt feltéve, hogy mégis, abszolútértékére ekkor teljesül $|f(z)|={\sqrt {|z|}}$. Eszerint $f$ korlátos $0$ egy környezetében, tehát a Riemann-tétel szerint kiterjeszthető teljes $\mathbb {C}$-re holomorf módon. Ez azt is jelenti, hogy itt $f$ folytonosan differenciálható, és deriváltja $f'(0)$.

Az identitástétel miatt $f$-nek és deriváltjának meg kell egyeznie $x\in \mathbb {R} ^{+}$-ban. Azonban itt a deriváltnak a 0-hoz közeledve minden határon túl kell nőnie, így a határérték nem létezhet:

$\lim _{x\searrow 0}f'(x)=\lim _{x\searrow 0}{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}=\infty \neq f'(0)$