Négyzetgyök

(Négyzetgyökvonás szócikkből átirányítva)

A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). Az a szám négyzetgyökének jele:

A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen -nak és -nak ugyanúgy a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív.

A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:

A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük. A racionális számok közül csak azoknak a négyzetgyöke lesz racionális melyek felírhatók két négyzetszám hányadosaként. Így például a is irracionális, melyet már az ókorban bebizonyítottak.

A gyökjel a kis r betűből alakult ki, a jobb ág meghosszabbításával. A 16. században jelent meg. Eredetileg az r betűt a latin radix szó rövidítéseként a radikandus elé írták. Ha a radikandus bonyolultabb kifejezés volt, akkor zárójelbe tették. Így használta még Gauß is.

A négyzetgyök angol nevéből származik a sok programnyelvben használt sqrt jelölés.

Definíció a valós számok halmazánSzerkesztés

Ha a nemnegatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a:

 

A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.

A valós négyzetgyökfüggvénySzerkesztés

 
A négyzetgyökfüggvény grafikonja
 
Kettős logaritmikus ábrázolásban a négyzetgyökfüggvény grafikonja egy 1/2 meredekségű egyenes

Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek szoktuk nevezni:

 

Ekvivalensen, jelölje q azt a függvényt, ami a valós számokhoz a négyzetüket rendeli. Ha ezt leszűkítjük a nemnegatív számokra, akkor inverze a négyzetgyökfüggvény lesz:

 

A valós számokon értelmezett négyzetre emelés függvény nem injektív és nem szürjektív, így nem invertálható függvény. A nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény viszont invertálható, inverze a négyzetgyökfüggvény. Mivel a nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény értékkészlete csak nemnegatív számokat tartalmaz, azért a négyzetgyök csak ezekre a számokra értelmezhető. A korlátozás miatt a négyzetgyökfüggvény értékei sem negatívak. A négyzetre emelés függvénynek más invertálható korlátozásai is vannak, ám ezek inverzét nem tekintjük négyzetgyökfüggvénynek.

A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán differenciálható, deriváltja

 .

Nullában ellenben nincs deriváltja; a grafikon érintője itt függőleges.

Értelmezési tartományának minden   zárt intervallumán Riemann-integrálható, és egy primitív függvénye

 .

TulajdonságaiSzerkesztés

 
  • Szigorúan monoton növekvő, azaz:
 
  • Zérushelye: x=0
  • Szélsőérték:
    • Minimuma: x=0, f(x)=0
    • Maximuma nincs
  • Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve.

PéldákSzerkesztés

Négyzetszámok és négyzetgyökeik
Radikandus Négyzetgyök Radikandus Négyzetgyök
1 1 121 11
4 2 144 12
9 3 169 13
16 4 196 14
25 5 225 15
36 6 256 16
49 7 289 17
64 8 324 18
81 9 361 19
100 10 400 20

Számolás négyzetgyökökkelSzerkesztés

A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból:

  •  , ha  
  •  , ha  
  •  , mivel a négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton nő.
  •   tetszőleges a valós számra.
  • ellenben   csak akkor teljesül, ha a nem negatív

A négyzetgyökvonással kapcsolatos problémákSzerkesztés

  • I.) Irracionális egyenletek:

Egyismeretlenes irracionális egyenleteknek nevezünk minden olyan algebrai egyenletet, ahol egyes algebrai kifejezések gyökjel alatt állnak.

  • II.) Négyzetgyökvonás negatív valós számból:

Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A komplex számok két fő részből tevődnek össze: egy képzetes (imaginárius) számból és egy valós számból.

Komplex négyzetgyökfüggvénySzerkesztés

 
A komplex négyzetgyökvonás szögfelezést tartalmaz. Példa:  

A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív; azonban a valós esettel ellentétben szürjektív, azaz minden komplex szám előáll négyzetként. Leszűkítéssel injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől.

A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a

 

tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető. Az egyetlen mellékág  

A Descartes-koordinátákkal adott   komplex szám esetén, ahol  ,   valósak, a főérték

 

ahol a   függvény értéke nempozitív   esetén  −1.

 

Polárkoordinátákkal a művelet egyszerűbben elvégezhető. Legyen a radikancdus a   komplex szám, melynek polárkoordinátás alakja

 

ahol   és   valósak úgy, hogy   és  ! Ekkor a főérték:

 

és a mellékérték ennek mínusz egyszerese:

 

A négyzetgyökök abszolútértéke a radikandus abszolútértékének négyzetgyöke. A főérték argumentuma a radikandus argumentumának fele. A mellékérték az origóra való tükrözéssel adódik. Ha   komplex szám, akkor argumentuma az   szög, ahol a pontok valós koordinátái   az egy valós szám,   a nulla valós szám és  .

A komplex számokra nem teljesül az

  hatványtörvény, hogyha   és  . Ez megmutatható az   esetben:
 

ahonnan az   azonosság miatt

 

amire a negatív számok ellenpéldák. Ha például  , akkor   és   miatt   főértékének argumentuma  , holott   főértékének argumentuma  .[1]

Mivel pozitív radikandusok esetén a főértéknek pozitívnak kell lennie, így a példa azt is megmutatja, hogy nem létezhet olyan komplex gyökfüggvény, amelyre a hatványtörvény teljesül. Azonban a hatványtörvény teljesül, ha a két oldalon nem kell egyezniük az előjeleknek. A következő képeken   és a   négyzetgyök argumentumát színezés jelöli.

SzámításaSzerkesztés

A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható.

Valós számokSzerkesztés

Ha a szám nem írható fel két négyzetszám hányadosaként, akkor a négyzetgyöke irracionális még akkor is, ha a szám egész. Ennek kiszámítása azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíthető.

A szám jegyeit hátulról kezdve párokba osztja. Az első csoport adja a négyzetgyök első jegyét. A továbbiakban sorra figyelembe veszi a következő jegypárokat, és az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 azonosság alapján számol, ahol az a szám a már meglevő közelítés, és b a következő keresett számjegy.

  • Intervallumok egymásba skatulyázása: könnyen érthető, de nehezen kivitelezhető módszer.

Példa: négyzetgyök kettő kiszámítása:

12 < 2 és 22 > 2 miatt az első jegy 1. 1,42 = 1,96 < 2 és 1,52 = 2,25 > 2, ezért a második jegy 4. Az eljárás hasonlóan folytatódik.

  • Heron-eljárás vagy babilóniai módszer: a Newton-eljárás alkalmazása az x2 - a függvényre. Gyors konvergenciája miatt számológépek programozására használják.
  • A négyzetgyökfüggvény 1 körüli Taylor-sorba fejthető a binomiális tétel szerint. A sor minden | x | < 1-re konvergens:
 

Az x számot felmérjük a számegyenesre, és Thalész-kört szerkesztünk a [0,x] szakaszra. 1-ben merőlegest állítunk a számegyesre; ez négyzetgyök x hosszú szakaszt metsz ki a körívből.

Komplex számokSzerkesztés

Ha   a valós és a képzetes részével van megadva, akkor a négyzetgyök főértéke

 

ahol sgn(y) a szignumfüggvény.

Az egyetlen mellékág a  .

A polárkoordinátákban adott   négyzetgyökei így számíthatók:

 

ahol n = 0 vagy 1. A főérték az n = 0 esetnek felel meg.

Geometriailag, a négyzetgyökök abszolútértéke megegyezik az adott komplex szám abszolútértékének négyzetgyökével, és a főérték argumentuma az adott komplex szám argumentumának fele. A másik érték ennek a középpontosan szimmetrikus párja.

Egy z komplex szám argumentuma az (1,0,z) irányított szög.

Példaként keressük a   komplex szám négyzetgyökét. Ehhez kiszámítjuk az abszolútértékét:

 

Tehát a főérték

 

és a mellékérték

 

Négyzetgyökök a maradékosztály-gyűrűkbenSzerkesztés

Ha egy n természetes számra   akkor a négyzetgyökvonás definiálható modulo n. A valós és a komplex esethez hasonlóan a   maradékosztály-gyűrűben is értelmes kérdés, hogy van-e olyan q maradékosztály, ami négyzetre emelve az x maradékosztályt adja:

 

Az x maradékosztály négyzetgyökei modulo n kiszámíthatók így:

Prímszám modulusSzerkesztés

A prímhatványokról a kongruencia visszavezethető több prím modulusú kongruencia megoldására.

Egy prím modulusra általában nincs minden maradékosztálynak négyzetgyöke. Például modulo 3 és x=2 esetén a kongruencia nem oldható meg, mert nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul. Ezért, ha p>2, akkor először ezt a kérdést kell megvizsgálnunk.

A kérdést az

 

Legendre-szimbólum segít eldönteni, amire:

 .

Ha x kvadratikus nemmaradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha x és p nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha x kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.

  • p négyes maradéka három

Az x kvadratikus maradék két négyzetgyöke

 
  • p négyes maradéka egy

Az x kvadratikus maradék négyzetgyöke így számítható:

Választunk egy r számot, hogy:

 

legyen.

Rekurzívan kiszámítjuk ezt a sorozatot:

 .

Ekkor az x kvadratikus maradék négyzetgyökei:

 

Példa: Legyen   és  !

Ekkor a fenti képlet alapján a négyzetgyökök

 

Próbálgatással egy megfelelő   érték  , mivel:

 

A   és   értékekre adódik, hogy:

 

Behelyettesítéssel

 

Tehát 3 négyzetgyökei modulo 37 15 és 22 modulo 37.

Mátrixok négyzetgyökeiSzerkesztés

Ha   négyzetes mátrix, akkor négyzetgyöke minden   mátrix, melyet önmagával szorozva az   mátrixot kapjuk:

 

A gyökvonás a többi esethez hasonlóan nem egyértelmű. Azonban, ha pozitív definit szimmetrikus mátrixok pozitív definit szimmetrikus gyökét keressük, akkor a válasz egyértelmű.

A négyzetgyök kiszámítása:

  • A radikandust ortogonális mátrixszal diagonizáljuk (spektráltétel miatt lehetséges).
  • Az átlós elemekből négyzetgyököt vonunk, mindig a pozitív értéket választva. Lásd: Cholesky-felbontás
  • Visszatérünk az eredeti bázisba.

Az egyértelműség következik abból, hogy az exponenciális leképezés diffeomorfizmus a szimmetrikus mátrixok vektoterében a pozitív definit mátrixokra.

Integráloperátor közelítésének négyzetgyökeSzerkesztés

Legyen   integrálfüggvény, és legyen  , ahol az   pontokra   és  . Legyen továbbá   függvény, és használjuk az   közelítést! Példánkban a mátrix mérete  :

 

Ez a művelet megismételhető, így kapjuk a   kettős integrált:

 

így az   mátrix felfogható numerikusan közelített integráloperátorként. Az   mátrix nem diagonizálható, és Jordan-normálformája:

 

Ebből négyzetgyököt úgy lehet vonni, mint nem diagonizálható mátrixokból. De ebben a speciális esetben van közvetlenebb formális megoldás:

 

ahol  ,   és  .

Itt   a diagonális indexe (a főátlóé nulla), és a   kitevő  . Hogyha behelyettesítjük a   pozitív valós számot, így   valós, és fdefiníciója alapján pozitív.

Így az     „fél” határozott integrálja numerikusan közelíthető:

 

Hogyha keressük az összes olyan operátort, ami önmagával szorozva az   közelítő integráloperátort adja, akkor be kell tenni a negatív előjelet, így a két megoldás  .

A levezetéshez invertálni kell  -t, azt eredményt a   hatványra emelni, és újra invertálni.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadratwurzel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Klaus Fritzsche. Tutorium Mathematik für Einsteiger. Springer-Verlag (2016)