Pollaczek–Khinchine-formula

A sorbanállás-elméletben a Pollaczek–Khinchine-formula kifejezi az átlagos sorbanállási hosszúságot, ahol a feladatok a Poisson-folyamat szerint érkeznek, és a szolgáltatás ideje általános eloszlást mutat az M/G/1-típusú sorbanállás szerint. A képlettel kiszámítható az átlagos várakozási idő is. A képletet először Pollaczek Félix publikálta 1930-ban,[1] és két évvel később Alekszandr Hincsin átdolgozta.[2][3]

Az átlagos sorbanállási hossz szerkesztés

Az átlagos sorbanállási hossz[4]

 

ahol

  •   A Poisson-folyamat beérkezési rátája
  •   az S időeloszlás várható értéke
  •   a kihasználás
  • Var(S) az S szolgáltatási idő eloszlásának szórásnégyzete

Ahhoz, hogy az átlagos sorbanállási hossz véges legyen, szükséges, hogy   legyen, máskülönben a feladatok gyorsabban érkeznének, mint ahogy elhagyják a sort. A ‘forgalom intenzitás’ 0 és 1 között van, és ez egy átlagos része annak az időnek, amikor a kiszolgáló foglalt. Ha a beérkezési ráta   nagyobb vagy egyenlő a   szolgálati rátával, akkor a sorbanállási késleltetés (várakozás) végtelen lesz.

Átlagos várakozási idő szerkesztés

Ha vesszük W-t, annak az átlagos időnek, amíg az ügyfél várakozik a sorban, akkor  , ahol   az átlagos várakozási idő, és   a szolgáltatás ideje. Felhasználva a Little-törvényt, mely szerint:

 

ahol

  • L az átlagos sor hossz
  •   A Poisson-folyamat beérkezési rátája
  • W az átlagos idő (várakozás és kiszolgálás),

így:

 

Végül írható egy kifejezés az átlagos várakozási időre:[5]

 

Irodalom szerkesztés

  • Pollaczek, F: Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie. (hely nélkül): Mathematische Zeitschrift 32:. 1930. 64–100. o.  
  • Khintchine, A. Y: Mathematical theory of a stationary queue. (hely nélkül): Matematicheskii Sbornik 39 (4):. 1932. 73–84. o.  

Kapcsolódó szócikkek szerkesztés

Források szerkesztés

  1. Pollaczek, F. (1930). „Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie”. Mathematische Zeitschrift 32, 64–100. o. DOI:10.1007/BF01194620.  
  2. Takács, Lajos (1971). „Review: J. W. Cohen, The Single Server Queue”. Annals of Mathematical Statistics 42 (6), 2162–2164. o. DOI:10.1214/aoms/1177693087.  
  3. doi:10.1007/s11134-009-9147-4
  4. Haigh, John. Probability Models. Springer, 192. o. (2002). ISBN 1-85233-431-2 
  5. Harrison, Peter G.. Performance Modelling of Communication Networks and Computer Architectures. Addison-Wesley, 228. o. (1992). ISBN 0-201-54419-9