M/G/1-típusú sorbanállás
A sorbanállás-elméletben az M/G/1-típusú sorbanállás olyan sorbanállási modell, ahol a beérkező entitások véletlenszerűek (M), a Poisson-folyamat szerint, a szolgáltatási idő (G) általános eloszlású, és egy kiszolgáló van.[1] A jelölés a Kendall-féle jelölést követi, és ennek a kiterjesztése a M/M/1-típusú sorbanállás, ahol a szolgáltatási idő exponenciális eloszlású. Az M/G/1-típusú sorbanállás modellezi a rögzített fejű merevlemez működését.[2]
A modell működése
szerkesztésA sorbanállás sztochasztikus folyamat, melynek állapottere {0,1,2,3...}, ahol a sorbanállók száma megfelel a számoknak. Az i - i+1 átmenet jelzi, hogy új sorbanálló tag érkezett. Az ilyen érkezések közötti időnek exponenciális eloszlása van, λ paraméterrel. Az i - i-1 átmenet jelzi, hogy egy tagot kiszolgáltak a sorból, és távozott. A kiszolgáláshoz szükséges idő általános eloszlási függvény szerint történik. Az érkezés és kiszolgálás közötti idő hossza valószínűségi változó, és feltételezhetően független más paraméterektől.
Sorbanállás hossza
szerkesztésAz állandósult sor hossz-eloszlásának generátor függvényét a Pollaczek–Khinchine transzformáció adja meg:[2]
ahol and a kiszolgálási idő eloszlásának Laplace–Stieltjes transzformációja. A Pollaczek–Khinchine-formula megadja a rendszer átlagos sorbanállási hosszát és az átlagos várakozási időt.[3][4] Mivel az érkezéseket a Poisson-folyamat határozza meg, az érkezési elmélet érvényes.
M/G/1 típusú Markov-lánc
szerkesztésTekintsük az M/G/1 sorbanállás beágyazott Markov-láncát, ahol az érkezés után azonnali időpontokat nézzük. Az ügyfélt zéró másodperc alatt kiszolgálják. A távozások között, 0, 1, 2, 3,…érkezés lehetséges. Így a lánc i–ből i-1, i, i+1, i+2…be mozoghat, ….[5] A beágyazott Markov-lánc átmeneti mátrixa:
ahol:
és F(u) a kiszolgálási idő eloszlása, λ a Poisson-féle érkezési ráta a sorba. A Markov-láncot a generátor mátrixxal, vagy mátrix blokkal, az M/G/1-típusú Markov-láncnak hívják, mely kifejezést M. F. Neuts-től származik.[6][7][8] Egy stacionárius M/G/1-típusú Markov-lánc a Ramaswami-formulával számítható.[8]
Több kiszolgáló esete
szerkesztésEgy M/G/k-típusú sorbanállás, ahol k>1 számú kiszolgáló van, még nyitott probléma.[9] Ebben a modellben, az érkezések Poisson-folyamat szerint történnek, és bármely kiszolgáló elláthatja a bejövőt. Különböző szerzők számos közelítést alkottak a sorbanállás átlagos nagyságára, az átlagos késleltetési időre és az állandó eloszlásra.[10]
Irodalom
szerkesztés- Ross, Sheldon M.; Seshadri, Sridhar: Hitting time in an M/G/1 queue. (hely nélkül): Journal of Applied Probability:. 1999.
- Stewart, William J: Probability, Markov chains, queues, and simulation. (hely nélkül): Princeton University Press. 2009. ISBN 0-691-14062-6
Kapcsolódó szócikkek
szerkesztés- Sorbanállási elmélet
- M/M/1-típusú sorbanállás
- Erlang-eloszlás
- Exponenciális eloszlás
- Laplace–Stieltjes transzformáció
- Valószínűségi változó
- Sűrűségfüggvény
- Skálaparaméter
- Alakparaméter
- Gamma-eloszlás
- Gumbel-eloszlás
- Eloszlásfüggvény
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
- Markov-lánc
- Matematikai statisztika
- Burr-eloszlás
Források
szerkesztés- ↑ Gittins, John C. (1989). Multi-armed Bandit Allocation Indices. John Wiley & Sons. p. 77. ISBN 0471920592
- ↑ a b Harrison, Peter; Patel, Naresh M. (1992). Performance Modelling of Communication Networks and Computer Architectures. Addison–Wesley.
- ↑ doi:10.1007/BF01194620
- ↑ Khintchine, A. Y (1932). „Mathematical theory of a stationary queue”. Matematicheskii Sbornik 39, 73–84. o. (Hozzáférés: 2011. július 14.)
- ↑ Stewart, William J.. Probability, Markov chains, queues, and simulation. Princeton University Press, 510. o. (2009). ISBN 0-691-14062-6
- ↑ Neuts, M. F . (1989). „Structured Stochastic Matrices of M/G/1 Type and Their Applications”, New York, Kiadó: Marcel Dekk..
- ↑ doi:10.1080/15326349808807483
- ↑ a b doi:10.1093/acprof:oso/9780198527688.001.0001
- ↑ doi:10.1007/s11134-009-9147-4
- ↑ doi:10.1007/s11134-008-9073-x