Relativisztikus Doppler-effektus

A relativisztikus Doppler-effektus kiszámítása a klasszikus Doppler-effektushoz hasonlóan történik, azzal a különbséggel, hogy a Galilei-transzformáció helyett a Lorentz-transzformációt alkalmazzuk a forrás és a közeg, illetve a közeg és a megfigyelő közötti váltásoknál.

Egy jobbra mozgó, 0.7c sebességű fényforrás. A frekvencia magasabb a jobb oldalon, alacsonyabb a balon.

Egydimenziós eset vizsgálata

Vizsgáljuk először az egydimenziós esetet, legyen a közeghez rögzített koordináta-rendszerben $c$, $w$, $f$, $v_{f}$, $m$, $v_{m}$ rendre a fénysebesség, a hullámsebesség, a forrás helye, sebessége, a megfigyelő helye és sebessége. Legyen továbbá $n$=1, ha a hullámok balról (negatív irányból) érik a megfigyelőt, és $n$=-1, ha jobbról (pozitív irányból).

Ha a forrás mozog és a megfigyelő áll, a tapasztalt frekvencia:

$f=f_{0}{\sqrt {1-{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {w}{|w-nv_{f}|}}$

Ha a megfigyelő mozog és a forrás áll, a képlet a következő:

$f=f_{0}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{m}^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {|w-nv_{m}|}{w}}$

Az általános esetben (a forrás és a megfigyelő is mozog):

$f=f_{0}{\frac {\sqrt {1-{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v_{m}^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {|w-nv_{m}|}{|w-nv_{f}|}}=f_{0}{\frac {\sqrt {c^{2}-v_{f}^{2}}}{\sqrt {c^{2}-v_{m}^{2}}}}{\frac {|w-nv_{m}|}{|w-nv_{f}|}}$

Abban a speciális esetben ha $w=c$, a képletek a következőképpen egyszerűsödnek (az előbbivel azonos sorrendben felírva):

$f=f_{0}{\sqrt {\frac {c+nv_{f}}{c-nv_{f}}}}$

$f=f_{0}{\sqrt {\frac {c-nv_{m}}{c+nv_{m}}}}$

$f=f_{0}{\sqrt {\frac {c+nv_{f}}{c-nv_{f}}}}{\sqrt {\frac {c-nv_{m}}{c+nv_{m}}}}$

Legyen $v_{r}$ a megfigyelő forráshoz viszonyított sebessége (a relativisztikus sebesség-összeadás szabályai szerint):

$v_{r}={\frac {v_{m}-v_{f}}{1-{\frac {v_{m}v_{f}}{c^{2}}}}}$

Ekkor a képletek a $v_{r}$ felhasználásával a következő alakban foglalhatók össze:

$f=f_{0}{\sqrt {\frac {c-nv_{r}}{c+nv_{r}}}}$

Ebből a formából látható, hogy fénysebességű hullámok esetében a közeghez viszonyított sebességnek nincs jelentősége, csak a forrás és a megfigyelő egymáshoz viszonyt sebessége befolyásolja a mérhető frekvenciát.

Többdimenziós eset vizsgálata

A többdimenziós eset vizsgálatánál $\mathbf {f} ,\mathbf {m} ,\mathbf {v} _{f},\mathbf {v} _{m}$ vektorok lesznek, $w$ és $c$ továbbra is skalár. (Továbbra is feltesszük hogy a forrás és a megfigyelő egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, és hogy a forrás frekvenciája állandó.) Először oldjuk meg τ-re az alábbi egyenletet:

$|\mathbf {m} -(\mathbf {f} -\tau \mathbf {v} _{f})|=w\tau$

Ha található egy (esetleg két) megfelelő τ érték, akkor jelölje $n$ (pontosabban $n_{\tau }$) a képletben szereplő vektor irányába mutató egységvektort:

$\mathbf {n} :={\frac {\mathbf {m} -(\mathbf {f} -\tau \mathbf {v} _{f})}{|\mathbf {m} -(\mathbf {f} -\tau \mathbf {v} _{f})|}}$

Ezen egységvektor felhasználásával az egydimenziós esetből kapott képleteket az alábbi formában írhatjuk fel (azonos sorrendben: mozgó forrás, mozgó megfigyelő, mindkettő mozog):

$f=f_{0}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} _{f}^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {w}{|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}|}}$

$f=f_{0}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} _{m}^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}|}{w}}$

$f=f_{0}{\frac {\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} _{f}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} _{m}^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}|}{|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}|}}=f_{0}{\frac {\sqrt {c^{2}-v_{f}^{2}}}{\sqrt {c^{2}-v_{m}^{2}}}}{\frac {|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}|}{|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}|}}$

Az egydimenziós esethez hasonlóan itt is egyszerűsödnek a képletek abban a speciális esetben, ha w=c, azaz a fénysebességgel terjedő hullámokról van szó:

$f=f_{0}{\sqrt {\frac {c+\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}}{c-\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}}}}$

$f=f_{0}{\sqrt {\frac {c-\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}}{c+\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}}}}$

$f=f_{0}{\sqrt {\frac {c+\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}}{c-\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}}}}{\sqrt {\frac {c-\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}}{c+\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}}}}$

Figyelem, ezen a ponton nem ismételhetjük meg mechanikusan az egydimenziós eset utolsó képletét, mivel az $\mathbf {n}$ vektort a közeghez rögzített rendszerben számoltuk ki. Ha $\mathbf {v} _{r}$ a megfigyelő sebessége a forráshoz képest, és $\mathbf {n} _{r}$-t a forráshoz rögzített rendszerben számoltuk ki, akkor használhatjuk ezt a formát:

$f=f_{0}{\sqrt {\frac {c-\mathbf {n} _{r}\mathbf {v} _{r}}{c+\mathbf {n} _{r}\mathbf {v} _{r}}}}$

Geometriai levezetés

Jelölések: $c\,$ a fénysebesség, $v\,$ a megfigyelő a jel forráshoz való közeledésének a sebessége, $T_{0}\,$ a jel kibocsátások időkülönbsége, $T\,$ a megfigyelő által észlelt időkülönbség, $t\,$ pedig egy segédváltozó.

Az ábráról látszik, hogy $cT_{0}=ct+vt\,$ azaz $t={\frac {c}{c+v}}T_{0}$. Ha ezt átírnánk frekvenciára pont a klasszikus Doppler-effektust kapnánk.

Az idődilatáció miatt:

$T={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\cdot t$

Ezekből

$T={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\cdot {\frac {cT_{0}}{c+v}}={\frac {\sqrt {1-v/c}}{\sqrt {1+v/c}}}\cdot T_{0}$

Mivel a frekvencia a hullámhossz reciprokával arányos, így azt kapjuk, hogy

$f={\frac {\sqrt {1+v/c}}{\sqrt {1-v/c}}}\cdot f_{0}$

Relativisztikus Doppler-hatás

Távolodó megfigyelő esetén $cT_{0}=ct-vt\,$ azaz $t={\frac {cT_{0}}{c-v}}$ Ezért a megfelelő formula:

$f={\frac {\sqrt {1-v/c}}{\sqrt {1+v/c}}}\cdot f_{0}$

Amit úgy is megkaphatunk, hogy $v\,$ helyére $-v\,$-t helyettesítünk.

Alkalmazás

Sebességmérés radar használatával

A forráshoz képest mozgó tárgyról visszaverődő fény (elektromágneses hullám), kétszeres Doppler-transzformációt szenved el, tehát a visszavert jel frekvenciája:

$f=f_{0}{\sqrt {\frac {c-nv_{r}}{c+nv_{r}}}}^{2}=f_{0}{\frac {c-nv_{r}}{c+nv_{r}}}$

Ez a képlet felhasználható a v_r sebesség kiszámítására:

$nv_{r}=c{\frac {f_{0}-f}{f_{0}+f}}$

Látható, hogy a frekvencia csökkenése (f < f₀) távolodó mozgást ($nv_{r}>0$) jelent, a frekvencia növekedése (f > f₀) pedig közeledő mozgást ($nv_{r}<0$).

Külső hivatkozás

• Interaktív Java szimuláció a klasszikus és a relativisztikus Doppler-effektusról. Szerző: Wolfgang Christian