Főmenü megnyitása
Egy jobbra mozgó, 0.7c sebességű fényforrás. A frekvencia magasabb a jobb oldalon, alacsonyabb a balon.

A relativisztikus Doppler-effektus kiszámítása a klasszikus Doppler-effektushoz hasonlóan történik, azzal a különbséggel, hogy a Galilei-transzformáció helyett a Lorentz-transzformációt alkalmazzuk a forrás és a közeg, illetve a közeg és a megfigyelő közötti váltásoknál.

Egydimenziós eset vizsgálataSzerkesztés

Vizsgáljuk először az egydimenziós esetet, legyen a közeghez rögzített koordináta-rendszerben  ,  ,  ,  ,  ,   rendre a fénysebesség, a hullámsebesség, a forrás helye, sebessége, a megfigyelő helye és sebessége. Legyen továbbá  =1, ha a hullámok balról (negatív irányból) érik a megfigyelőt, és  =-1, ha jobbról (pozitív irányból).

Ha a forrás mozog és a megfigyelő áll, a tapasztalt frekvencia:

 

Ha a megfigyelő mozog és a forrás áll, a képlet a következő:

 

Az általános esetben (a forrás és a megfigyelő is mozog):

 

Abban a speciális esetben ha  , a képletek a következőképpen egyszerűsödnek (az előbbivel azonos sorrendben felírva):

 
 
 

Legyen   a megfigyelő forráshoz viszonyított sebessége (a relativisztikus sebesség-összeadás szabályai szerint):

 

Ekkor a képletek a   felhasználásával a következő alakban foglalhatók össze:

 

Ebből a formából látható, hogy fénysebességű hullámok esetében a közeghez viszonyított sebességnek nincs jelentősége, csak a forrás és a megfigyelő egymáshoz viszonyt sebessége befolyásolja a mérhető frekvenciát.

Többdimenziós eset vizsgálataSzerkesztés

A többdimenziós eset vizsgálatánál   vektorok lesznek,   és   továbbra is skalár. (Továbbra is feltesszük hogy a forrás és a megfigyelő egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, és hogy a forrás frekvenciája állandó.) Először oldjuk meg τ-re az alábbi egyenletet:

 

Ha található egy (esetleg két) megfelelő τ érték, akkor jelölje   (pontosabban  ) a képletben szereplő vektor irányába mutató egységvektort:

 

Ezen egységvektor felhasználásával az egydimenziós esetből kapott képleteket az alábbi formában írhatjuk fel (azonos sorrendben: mozgó forrás, mozgó megfigyelő, mindkettő mozog):

 
 
 

Az egydimenziós esethez hasonlóan itt is egyszerűsödnek a képletek abban a speciális esetben, ha w=c, azaz a fénysebességgel terjedő hullámokról van szó:

 
 
 

Figyelem, ezen a ponton nem ismételhetjük meg mechanikusan az egydimenziós eset utolsó képletét, mivel az   vektort a közeghez rögzített rendszerben számoltuk ki. Ha   a megfigyelő sebessége a forráshoz képest, és  -t a forráshoz rögzített rendszerben számoltuk ki, akkor használhatjuk ezt a formát:

 

Geometriai levezetésSzerkesztés

Jelölések:   a fénysebesség,   a megfigyelő a jel forráshoz való közeledésének a sebessége,   a jel kibocsátások időkülönbsége,   a megfigyelő által észlelt időkülönbség,   pedig egy segédváltozó.

Az ábráról látszik, hogy   azaz  . Ha ezt átírnánk frekvenciára pont a klasszikus Doppler-effektust kapnánk.

Az idődilatáció miatt:

 

Ezekből

 

Mivel a frekvencia a hullámhossz reciprokával arányos, így azt kapjuk, hogy

 
 
Relativisztikus Doppler-hatás

Távolodó megfigyelő esetén   azaz   Ezért a megfelelő formula:

 

Amit úgy is megkaphatunk, hogy   helyére  -t helyettesítünk.

AlkalmazásSzerkesztés

Sebességmérés radar használatávalSzerkesztés

A forráshoz képest mozgó tárgyról visszaverődő fény (elektromágneses hullám), kétszeres Doppler-transzformációt szenved el, tehát a visszavert jel frekvenciája:

 

Ez a képlet felhasználható a vr sebesség kiszámítására:

 

Látható, hogy a frekvencia csökkenése (f < f0) távolodó mozgást ( ) jelent, a frekvencia növekedése (f > f0) pedig közeledő mozgást ( ).

Külső hivatkozásSzerkesztés