Wikipédia

„Negyedfokú egyenlet” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
(Összes ellenőrzésre váró szerkesztés megjelenítése)
[ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Sajoka (vitalap | szerkesztései)
230 szerkesztés
12. sor:
<br /><br /><br />
 
== Az általános negyedfokú egyenlet gyökei ==
== Megoldása ==
 
<math>\begin{align}▼
'''1.) ''' Legyen <math>x=y_{1}+y_{2}+y_{3} \,</math> majd felírjuk a következő azonosságot:
& {{x}_{1,2}}=-\frac{b}{4a}-\sgn \left( B \right)\cdot \sqrt{{{Y}_{1}}}\pm \left( \sqrt{{{Y}_{2}}}+\sqrt{{{Y}_{3}}} \right) \\
& {{x}_{3,4}}=-\frac{b}{4a}+\sgn \left( B \right)\cdot \sqrt{{{Y}_{1}}}\pm \left( \sqrt{{{Y}_{2}}}-\sqrt{{{Y}_{3}}} \right) \\
\end{align}</math>
 
 
<math>{{x}^{4}}\underbrace{-2\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}_{A}\cdot {{x}^{2}}\underbrace{-8\left( {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}} \right)}_{B}\cdot x+\underbrace{{{\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{2}}-4\left( y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2} \right)}_{C}=0</math>
 
Ha <math>\Delta \ge 0</math> akkor :
 
 
:<math>\left. \begin{align}▼
Így egy <math>x^{4}+A\cdot x^{2}+B\cdot x+C=0</math> alakú egyenletet kapunk melynek egyik megoldása <math>x_{1}=y_{1}+y_{2}+y_{3} \,</math>.
& {{Y}_{1}}=-\frac{A}{6}+\sqrt[3]{\frac{2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC}{2\cdot {{12}^{3}}}+\sqrt{\Delta }}+\sqrt[3]{\frac{2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC}{2\cdot {{12}^{3}}}-\sqrt{\Delta }} \\
& \sqrt{{{Y}_{2}}}+\sqrt{{{Y}_{3}}}=\sqrt{-\frac{A}{2}-{{Y}_{1}}+\sqrt{{{\left( \frac{A}{2}+2{{Y}_{1}} \right)}^{2}}-C}} \\
& y_\sqrt{1{{Y}^_{2}}}-\cdot y_sqrt{2}^{2{Y}+y__{13}}^{2}=i\cdot y_\sqrt{3\frac{A}^{2}+y_{2}^{2Y}\cdot y__{31}^{2}=+\fracsqrt{{1}{4}\left( -\frac{A}{2}+2{{Y}_{1}} \right)}^{2}}-\frac{C}{4} \\ ▼
\end{align}</math>
 
A [[Viète-formulák]] segítségével felírhatjuk a
 
▲<math>\left. \begin{align}
& y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}=-\frac{A}{2} \\ ▼
▲ & y_{1}^{2}\cdot y_{2}^{2}+y_{1}^{2}\cdot y_{3}^{2}+y_{2}^{2}\cdot y_{3}^{2}=\frac{1}{4}\left( -\frac{A}{2} \right)^{2}-\frac{C}{4} \\
& y_{1}^{2}\cdot y_{2}^{2}\cdot y_{3}^{2}=\left( -\frac{B}{8} \right)^{2} \\
\end{align} \right\}\Rightarrow \left( y^{2} \right)^{3}+\frac{A}{2}\cdot \left( y^{2} \right)^{2}+\left[ \left( \frac{A}{4} \right)^{2}-\frac{C}{4} \right]\cdot \left( y^{2} \right)-\left( \frac{B}{8} \right)^{2}=0</math>
 
Ha <math>\Delta <0</math> és <math>\left( 2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC \right)=0</math> akkor :
<math>y^{2} \,</math> - ben [[harmadfokú egyenlet]]-et, melynek megoldásával az <math>y_{1,2,3} \,</math> gyökök kifejezhetőek A,B,C függvényében.
 
Tehát az <math>x^{4}+A\cdot x^{2}+B\cdot x+C=0 \,</math> egyenlet egyik megoldása <math>x_{1}=\sqrt{Y_{1}}+\sqrt{Y_{2}}+\sqrt{Y_{3}} \,</math> ahol <math>Y_{1,2,3} \,</math> az
 
:<math>\begin{align}
<math>Y^{3}+\frac{A}{2}\cdot Y^{2}+\left[ \left( \frac{A}{4} \right)^{2}-\frac{C}{4} \right]\cdot Y-\left( \frac{B}{8} \right)^{2}=0</math>, [[harmadfokú egyenlet]] gyökei.
▲ & y_{1}^{2Y}+y__{21}^{2}+y_{3}^{2}=-\frac{A}{26} \\
& A{{Y}_{2,3}}=-\frac{cA}{a6}-\pm \frac{3b\sqrt{{{A}^{2}}+12C}}{8a^4\sqrt{23}} \\ ▼
\end{align}</math>
 
'''2.) ''' Az <math>a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e\cdot=0</math> általános negyedfokú egyenletet úgy hozzuk az '''1.'''-es pontban lévő <math>x^{4}+A\cdot x^{2}+B\cdot x+C=0</math> formára, hogy az "x" változót helyettesítjük " <math>X-\frac{b}{4a}</math> "-val, ezáltal kapjuk az:
 
<math>X^{4}+\overbrace{\left( \frac{c}{a}-\frac{3b^{2}}{8a^{2}} \right)}^{A}\cdot X^{2}+\overbrace{\left( \frac{b^{3}}{8a^{3}}-\frac{bc}{2a^{2}}+\frac{d}{a} \right)}^{B}\cdot X\overbrace{-\frac{3b^{4}}{256a^{4}}+\frac{b^{2}c}{16a^{3}}-\frac{bd}{4a^{2}}+\frac{e}{a}}^{C}=0</math> egyenletet.
 
AzHa <math>a\cdotDelta x^{4}+b<0</math> és <math>\cdotleft( x2{{A}^{3}}+c\cdot x27{{B}^{2}+d}-72AC \right)\cdotne x+e=0 \,</math> általános negyedfokú egyenlet egyikakkor megoldása:
 
<math>x_{1}=-\frac{b}{4a}+\sqrt{Y_{1}}+\sqrt{Y_{2}}+\sqrt{Y_{3}}</math>, ahol
 
:<math>\begin{align}
<math>Y_{1,2,3} \,</math>, az <math>Y^{3}+\frac{A}{2}\cdot Y^{2}+\left[ \left( \frac{A}{4} \right)^{2}-\frac{C}{4} \right]\cdot Y-\left( \frac{B}{8} \right)^{2}=0</math>, [[harmadfokú egyenlet]] gyökei és
& {{Y}_{1}}=-\frac{A}{6}+\frac{\sgn \left( 2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC \right)\cdot \sqrt{{{A}^{2}}+12C}}{6}\cdot \cos \left( \frac{1}{3}arctg\frac{2\cdot {{12}^{3}}\cdot \sqrt{-\Delta }}{2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC} \right) \\
 
& {{Y}_{2,3}}=-\frac{A}{6}+\frac{\sgn \left( 2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC \right)\cdot \sqrt{{{A}^{2}}+12C}}{6}\cdot \cos \left( \frac{2\pi }{3}\pm \frac{1}{3}arctg\frac{2\cdot {{12}^{3}}\cdot \sqrt{-\Delta }}{2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC} \right) \\
▲<math>\begin{align}
▲ & A=\frac{c}{a}-\frac{3b^{2}}{8a^{2}} \\
& \\
& B=\frac{b^{3}}{8a^{3}}-\frac{bc}{2a^{2}}+\frac{d}{a} \\ ▼
& \\
& C=-\frac{3b^{4}}{256a^{4}}+\frac{b^{2}c}{16a^{3}}-\frac{bd}{4a^{2}}+\frac{e}{a} \\ ▼
\end{align}</math>
 
 
Ahol:
 
:<math>\left\{ \begin{align}
& \Delta ={{\left( \frac{{{A}^{3}}}{{{12}^{3}}}+\frac{{{B}^{2}}}{128}-\frac{AC}{48} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{{{A}^{2}}}{{{12}^{2}}}+\frac{C}{12} \right)}^{3}} \\
& A=-\frac{3{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}}+\frac{c}{a} \\
▲ & B=\frac{{{b}^{3}}}{8a8{{a}^{3}}}-\frac{bc}{2a2{{a}^{2}}}+\frac{d}{a} \\
▲ & C=-\frac{3b3{{b}^{4}}}{256a256{{a}^{4}}}+\frac{{{b}^{2}}c}{16a16{{a}^{3}}}-\frac{bd}{4a4{{a}^{2}}}+\frac{e}{a} \\
\end{align} \right.</math>
 
 
'''Megjegyzés:'''
 
:Az itt használt [[Szignumfüggvény|sgn]] és arctg függvények definíciói:
 
:<math>sgn\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& +1{{,}_{_{.}}}h{{a}_{_{.}}}x\ge 0 \\
& -1{{,}_{_{.}}}h{{a}_{_{.}}}x<0 \\
\end{align} \right.</math>
 
:<math>arctg\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& arctg\left| x \right|, h{{a}_{_{.}}}x\ge 0 \\
& -arctg\left| x \right|, h{{a}_{_{.}}}x<0 \\
\end{align} \right.</math>
 
== Források ==
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Negyedfokú_egyenlet”