Főmenü megnyitása

Negyedfokú függvény grafikonja.
Az x tengellyel való metszéspontok a függvény zérushelyei (y = 0).
A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény, a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró.

Általános alakja:

Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.

Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.



Az általános negyedfokú egyenlet gyökeiSzerkesztés

 


Ha   akkor :


 


Ha   és   akkor :


 


Ha   és   akkor :


 


Ahol:

 


Megjegyzés:

Az itt használt sgn és arctg függvények definíciói:
 
 


Az általános negyedfokú egyenlet megoldásaSzerkesztés

Ha az alábbi egyenlőségek mindkét oldalát negyedik hatványra emeljük majd átrendezzük:

 


akkor a következő negyedfokú egyenletet kapjuk:

 


Ebből következik, hogy az:

 

negyedfoukú egyenletnek a következő négy megoldása van:

 


A következő jelölést használva:

 


felírható az:

 

negyedfokú egyenlet melynek A,B,C együtthatói kiszámolhatóak   függvényében:

 


A következő jelöléseket bevezetve:

 

azaz

 

(  -re   miatt van szükség, csak így teljesül az egyenlőség), egy harmadfokú egyenlet Viète-képleteit kapjuk:


 


amiből felírható maga a harmadfokú egyenlet:

 


melynek gyökeit a harmadfokú egyenlet megoldóképletéből kapjuk az alábbi jelölések segítségével:

 


Ha   akkor :

 


Ha   és   akkor :

 


Ha   és   akkor :

 

Ha   akkor   konjugált komplex számok, és ezek négyzetgyökét kell összeadni/kivonni. Felhasználva a komplex számok gyökvonási képletét, kis átrendezés után ezt kapjuk:

 


A második egyenletben a képlet szerint szerepel a sgn függvény de a negyedfokú egyenlet   és   gyökei közül az egyikben pozitív lesz a másikban pedig negatív, ezért a sgn függvény csak a gyökök sorrendjén változtat nem a a végeredményen, vagyis ez esetben nem szükséges odaírni.

  pedig   -ban zéró, máshol pozitív, tehát mindíg valós szám.


Az   negyedfokú egyenlet gyökei tehát:


 


Az általános negyedfokú egyenlet pedig:

 

a következő helyettesítéssel:

 

átalakítható a fenti negyedfokú egyenletre:

 

így az általános negyedfokú egyenlet gyökei: