x
4
14
+
x
3
14
−
13
x
2
14
−
x
14
+
19
14
{\displaystyle {\tfrac {{x}^{4}}{14}}+{\tfrac {{x}^{3}}{14}}-{\tfrac {13{{x}^{2}}}{14}}-{\tfrac {x}{14}}+{\tfrac {19}{14}}}
x tengellyel való metszéspontok a függvény zérushelyei (y = 0).A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény , a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró. Általános alakja:
a
⋅
x
4
+
b
⋅
x
3
+
c
⋅
x
2
+
d
⋅
x
+
e
=
0
{\displaystyle a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e=0\,}
Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.
Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.
x
1
,
2
=
−
b
4
a
−
sgn
(
B
)
⋅
Y
1
±
(
Y
2
+
Y
3
)
x
3
,
4
=
−
b
4
a
+
sgn
(
B
)
⋅
Y
1
±
(
Y
2
−
Y
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}_{1,2}}=-{\frac {b}{4a}}-\operatorname {sgn} \left(B\right)\cdot {\sqrt {{Y}_{1}}}\pm \left({\sqrt {{Y}_{2}}}+{\sqrt {{Y}_{3}}}\right)\\&{{x}_{3,4}}=-{\frac {b}{4a}}+\operatorname {sgn} \left(B\right)\cdot {\sqrt {{Y}_{1}}}\pm \left({\sqrt {{Y}_{2}}}-{\sqrt {{Y}_{3}}}\right)\\\end{aligned}}}
Ha
Δ
≥
0
{\displaystyle \Delta \geq 0}
Y
1
=
−
A
6
+
2
A
3
+
27
B
2
−
72
A
C
2
⋅
12
3
+
Δ
3
+
2
A
3
+
27
B
2
−
72
A
C
2
⋅
12
3
−
Δ
3
Y
2
+
Y
3
=
−
A
2
−
Y
1
+
(
A
2
+
2
Y
1
)
2
−
C
Y
2
−
Y
3
=
i
⋅
A
2
+
Y
1
+
(
A
2
+
2
Y
1
)
2
−
C
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Y}_{1}}=-{\frac {A}{6}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC}{2\cdot {{12}^{3}}}}+{\sqrt {\Delta }}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC}{2\cdot {{12}^{3}}}}-{\sqrt {\Delta }}}}\\&{\sqrt {{Y}_{2}}}+{\sqrt {{Y}_{3}}}={\sqrt {-{\frac {A}{2}}-{{Y}_{1}}+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{2}}+2{{Y}_{1}}\right)}^{2}}-C}}}}\\&{\sqrt {{Y}_{2}}}-{\sqrt {{Y}_{3}}}=i\cdot {\sqrt {{\frac {A}{2}}+{{Y}_{1}}+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{2}}+2{{Y}_{1}}\right)}^{2}}-C}}}}\\\end{aligned}}}
Ha
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
(
2
A
3
+
27
B
2
−
72
A
C
)
=
0
{\displaystyle \left(2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC\right)=0}
Y
1
=
−
A
6
Y
2
,
3
=
−
A
6
±
A
2
+
12
C
4
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Y}_{1}}=-{\frac {A}{6}}\\&{{Y}_{2,3}}=-{\frac {A}{6}}\pm {\frac {\sqrt {{{A}^{2}}+12C}}{4{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}
Ha
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
(
2
A
3
+
27
B
2
−
72
A
C
)
≠
0
{\displaystyle \left(2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC\right)\neq 0}
Y
1
=
−
A
6
+
sgn
(
2
A
3
+
27
B
2
−
72
A
C
)
⋅
A
2
+
12
C
6
⋅
cos
(
1
3
a
r
c
t
g
2
⋅
12
3
⋅
−
Δ
2
A
3
+
27
B
2
−
72
A
C
)
Y
2
,
3
=
−
A
6
+
sgn
(
2
A
3
+
27
B
2
−
72
A
C
)
⋅
A
2
+
12
C
6
⋅
cos
(
2
π
3
±
1
3
a
r
c
t
g
2
⋅
12
3
⋅
−
Δ
2
A
3
+
27
B
2
−
72
A
C
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Y}_{1}}=-{\frac {A}{6}}+{\frac {\operatorname {sgn} \left(2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC\right)\cdot {\sqrt {{{A}^{2}}+12C}}}{6}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}arctg{\frac {2\cdot {{12}^{3}}\cdot {\sqrt {-\Delta }}}{2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC}}\right)\\&{{Y}_{2,3}}=-{\frac {A}{6}}+{\frac {\operatorname {sgn} \left(2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC\right)\cdot {\sqrt {{{A}^{2}}+12C}}}{6}}\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{3}}\pm {\frac {1}{3}}arctg{\frac {2\cdot {{12}^{3}}\cdot {\sqrt {-\Delta }}}{2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC}}\right)\\\end{aligned}}}
{
Δ
=
(
A
3
12
3
+
B
2
128
−
A
C
48
)
2
−
(
A
2
12
2
+
C
12
)
3
A
=
−
3
b
2
8
a
2
+
c
a
B
=
b
3
8
a
3
−
b
c
2
a
2
+
d
a
C
=
−
3
b
4
256
a
4
+
b
2
c
16
a
3
−
b
d
4
a
2
+
e
a
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\Delta ={{\left({\frac {{A}^{3}}{{12}^{3}}}+{\frac {{B}^{2}}{128}}-{\frac {AC}{48}}\right)}^{2}}-{{\left({\frac {{A}^{2}}{{12}^{2}}}+{\frac {C}{12}}\right)}^{3}}\\&A=-{\frac {3{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}}}+{\frac {c}{a}}\\&B={\frac {{b}^{3}}{8{{a}^{3}}}}-{\frac {bc}{2{{a}^{2}}}}+{\frac {d}{a}}\\&C=-{\frac {3{{b}^{4}}}{256{{a}^{4}}}}+{\frac {{{b}^{2}}c}{16{{a}^{3}}}}-{\frac {bd}{4{{a}^{2}}}}+{\frac {e}{a}}\\\end{aligned}}\right.}
Megjegyzés:
Az itt használt sgn és arctg függvények definíciói:
s
g
n
(
x
)
=
{
+
1
,
.
h
a
.
x
≥
0
−
1
,
.
h
a
.
x
<
0
{\displaystyle sgn\left(x\right)=\left\{{\begin{aligned}&+1{{,}_{_{.}}}h{{a}_{_{.}}}x\geq 0\\&-1{{,}_{_{.}}}h{{a}_{_{.}}}x<0\\\end{aligned}}\right.}
a
r
c
t
g
(
x
)
=
{
a
r
c
t
g
|
x
|
,
h
a
.
x
≥
0
−
a
r
c
t
g
|
x
|
,
h
a
.
x
<
0
{\displaystyle arctg\left(x\right)=\left\{{\begin{aligned}&arctg\left|x\right|,h{{a}_{_{.}}}x\geq 0\\&-arctg\left|x\right|,h{{a}_{_{.}}}x<0\\\end{aligned}}\right.}
Ha az alábbi egyenlőségek mindkét oldalát negyedik hatványra emeljük majd átrendezzük:
X
=
y
1
+
y
2
+
y
3
X
=
y
1
+
(
−
y
2
)
+
(
−
y
3
)
X
=
(
−
y
1
)
+
y
2
+
(
−
y
3
)
X
=
(
−
y
1
)
+
(
−
y
2
)
+
y
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&X={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}\\&X={{y}_{1}}+\left(-{{y}_{2}}\right)+\left(-{{y}_{3}}\right)\\&X=\left(-{{y}_{1}}\right)+{{y}_{2}}+\left(-{{y}_{3}}\right)\\&X=\left(-{{y}_{1}}\right)+\left(-{{y}_{2}}\right)+{{y}_{3}}\\\end{aligned}}}
X
4
−
2
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
⋅
X
2
−
8
(
y
1
y
2
y
3
)
⋅
X
+
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
2
−
4
(
y
1
2
y
2
2
+
y
1
2
y
3
2
+
y
2
2
y
3
2
)
=
0
{\displaystyle {{X}^{4}}-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\cdot {{X}^{2}}-8\left({{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}\right)\cdot X+{{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)=0}
X
4
−
2
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
⋅
X
2
−
8
(
y
1
y
2
y
3
)
⋅
X
+
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
2
−
4
(
y
1
2
y
2
2
+
y
1
2
y
3
2
+
y
2
2
y
3
2
)
=
0
{\displaystyle {{X}^{4}}-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\cdot {{X}^{2}}-8\left({{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}\right)\cdot X+{{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)=0}
negyedfoukú egyenletnek a következő négy megoldása van:
X
1
=
y
1
+
(
y
2
+
y
3
)
X
2
=
y
1
−
(
y
2
+
y
3
)
X
3
=
−
y
1
+
(
y
2
−
y
3
)
X
4
=
−
y
1
−
(
y
2
−
y
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{X}_{1}}={{y}_{1}}+\left({{y}_{2}}+{{y}_{3}}\right)\\&{{X}_{2}}={{y}_{1}}-\left({{y}_{2}}+{{y}_{3}}\right)\\&{{X}_{3}}=-{{y}_{1}}+\left({{y}_{2}}-{{y}_{3}}\right)\\&{{X}_{4}}=-{{y}_{1}}-\left({{y}_{2}}-{{y}_{3}}\right)\\\end{aligned}}}
X
4
−
2
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
⏞
A
⋅
X
2
−
8
(
y
1
y
2
y
3
)
⏞
B
⋅
X
+
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
2
−
4
(
y
1
2
y
2
2
+
y
1
2
y
3
2
+
y
2
2
y
3
2
)
⏞
C
=
0
{\displaystyle {{X}^{4}}\overbrace {-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)} ^{A}\cdot {{X}^{2}}\overbrace {-8\left({{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}\right)} ^{B}\cdot X+\overbrace {{{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)} ^{C}=0}
X
4
+
A
⋅
X
2
+
B
⋅
X
+
C
=
0
{\displaystyle {{X}^{4}}+A\cdot {{X}^{2}}+B\cdot X+C=0}
negyedfokú egyenlet melynek A,B,C együtthatói kiszámolhatóak
y
1
,
y
2
,
y
3
{\displaystyle {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}}
{
A
=
−
2
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
B
=
−
8
(
y
1
y
2
y
3
)
C
=
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
2
−
4
(
y
1
2
y
2
2
+
y
1
2
y
3
2
+
y
2
2
y
3
2
)
⇒
{
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
=
−
A
2
y
1
y
2
y
3
=
−
B
8
y
1
2
y
2
2
+
y
1
2
y
3
2
+
y
2
2
y
3
2
=
(
−
A
4
)
2
−
C
4
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&A=-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\\&B=-8\left({{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}\right)\\&C={{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)\\\end{aligned}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{aligned}&y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}=-{\frac {A}{2}}\\&{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=-{\frac {B}{8}}\\&y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}={{\left(-{\frac {A}{4}}\right)}^{2}}-{\frac {C}{4}}\\\end{aligned}}\right.}
y
1
2
=
Y
1
,
y
2
2
=
Y
2
,
y
3
2
=
Y
3
{\displaystyle y_{1}^{2}={{Y}_{1}},y_{2}^{2}={{Y}_{2}},y_{3}^{2}={{Y}_{3}}}
azaz
y
1
=
sgn
(
−
B
)
⋅
Y
1
,
y
2
=
Y
2
,
y
3
=
Y
3
{\displaystyle {{y}_{1}}=\operatorname {sgn} \left(-B\right)\cdot {\sqrt {{Y}_{1}}},{{y}_{2}}={\sqrt {{Y}_{2}}},{{y}_{3}}={\sqrt {{Y}_{3}}}}
(
sgn
(
−
B
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} \left(-B\right)}
y
1
y
2
y
3
=
−
B
8
{\displaystyle {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=-{\frac {B}{8}}}
Viète-képleteit kapjuk:
{
Y
1
+
Y
2
+
Y
3
=
−
A
2
Y
1
Y
2
+
Y
1
Y
3
+
Y
2
Y
3
=
A
2
−
4
C
16
Y
1
Y
2
Y
3
=
B
2
64
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{{Y}_{1}}+{{Y}_{2}}+{{Y}_{3}}=-{\frac {A}{2}}\\&{{Y}_{1}}{{Y}_{2}}+{{Y}_{1}}{{Y}_{3}}+{{Y}_{2}}{{Y}_{3}}={\frac {{{A}^{2}}-4C}{16}}\\&{{Y}_{1}}{{Y}_{2}}{{Y}_{3}}={\frac {{B}^{2}}{64}}\\\end{aligned}}\right.}
Y
3
+
A
2
Y
2
+
A
2
−
4
C
16
Y
−
B
2
64
=
0
{\displaystyle {{Y}^{3}}+{\frac {A}{2}}{{Y}^{2}}+{\frac {{{A}^{2}}-4C}{16}}Y-{\frac {{B}^{2}}{64}}=0}
harmadfokú egyenlet megoldóképletéből kapjuk az alábbi jelölések segítségével:
{
A
A
=
−
A
2
+
12
C
48
B
B
=
−
2
A
3
−
27
B
2
+
72
A
C
12
3
Δ
=
(
B
B
2
)
2
+
(
A
A
3
)
3
=
4
A
3
B
2
+
27
B
4
−
16
A
4
C
−
144
A
B
2
C
+
128
A
2
C
2
−
256
C
3
4
⋅
48
3
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&AA=-{\frac {{{A}^{2}}+12C}{48}}\\&BB={\frac {-2{{A}^{3}}-27{{B}^{2}}+72AC}{{12}^{3}}}\\&\Delta ={{\left({\frac {BB}{2}}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {AA}{3}}\right)}^{3}}={\frac {4{{A}^{3}}{{B}^{2}}+27{{B}^{4}}-16{{A}^{4}}C-144A{{B}^{2}}C+128{{A}^{2}}{{C}^{2}}-256{{C}^{3}}}{4\cdot {{48}^{3}}}}\\\end{aligned}}\right.}
Δ
≥
0
{\displaystyle \Delta \geq 0}
Y
1
=
−
A
6
+
−
B
B
2
+
Δ
3
+
−
B
B
2
−
Δ
3
Y
2
,
3
=
−
A
6
−
1
2
(
−
B
B
2
+
Δ
3
+
−
B
B
2
−
Δ
3
)
±
i
⋅
3
2
(
−
B
B
2
+
Δ
3
−
−
B
B
2
−
Δ
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Y}_{1}}=-{\frac {A}{6}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}+{\sqrt {\Delta }}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}-{\sqrt {\Delta }}}}\\&{{Y}_{2,3}}=-{\frac {A}{6}}-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}+{\sqrt {\Delta }}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}-{\sqrt {\Delta }}}}\right)\pm i\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}+{\sqrt {\Delta }}}}-{\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}-{\sqrt {\Delta }}}}\right)\\\end{aligned}}}
Δ
≥
0
{\displaystyle \Delta \geq 0}
B
B
=
0
{\displaystyle BB=0}
Y
1
=
−
A
6
Y
2
,
3
=
−
A
6
±
−
A
A
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Y}_{1}}=-{\frac {A}{6}}\\&{{Y}_{2,3}}=-{\frac {A}{6}}\pm {\sqrt {-AA}}\\\end{aligned}}}
Δ
≥
0
{\displaystyle \Delta \geq 0}
B
B
≠
0
{\displaystyle BB\neq 0}
Y
1
=
−
A
6
−
sgn
(
B
B
)
⋅
2
−
A
A
3
⋅
cos
(
1
3
a
r
c
t
g
2
−
Δ
B
B
)
Y
2
,
3
=
−
A
6
−
sgn
(
B
B
)
⋅
2
−
A
A
3
⋅
cos
(
2
π
3
±
1
3
a
r
c
t
g
2
−
Δ
B
B
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Y}_{1}}=-{\frac {A}{6}}-\operatorname {sgn} \left(BB\right)\cdot 2{\sqrt {-{\frac {AA}{3}}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}arctg{\frac {2{\sqrt {-\Delta }}}{BB}}\right)\\&{{Y}_{2,3}}=-{\frac {A}{6}}-\operatorname {sgn} \left(BB\right)\cdot 2{\sqrt {-{\frac {AA}{3}}}}\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{3}}\pm {\frac {1}{3}}arctg{\frac {2{\sqrt {-\Delta }}}{BB}}\right)\\\end{aligned}}}
Ha
Δ
≥
0
{\displaystyle \Delta \geq 0}
Y
2
,
3
{\displaystyle {{Y}_{2,3}}}
komplex számok gyökvonási képletét , kis átrendezés után ezt kapjuk:
Y
2
+
Y
3
=
−
A
2
−
Y
1
+
(
A
2
+
2
Y
1
)
2
−
C
Y
2
−
Y
3
=
i
⋅
A
2
+
Y
1
+
(
A
2
+
2
Y
1
)
2
−
C
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {{Y}_{2}}}+{\sqrt {{Y}_{3}}}={\sqrt {-{\frac {A}{2}}-{{Y}_{1}}+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{2}}+2{{Y}_{1}}\right)}^{2}}-C}}}}\\&{\sqrt {{Y}_{2}}}-{\sqrt {{Y}_{3}}}=i\cdot {\sqrt {{\frac {A}{2}}+{{Y}_{1}}+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{2}}+2{{Y}_{1}}\right)}^{2}}-C}}}}\\\end{aligned}}}
sgn függvény de a negyedfokú egyenlet
X
3
=
−
Y
1
+
Y
2
−
Y
3
{\displaystyle {{X}_{3}}=-{\sqrt {{Y}_{1}}}+{\sqrt {{Y}_{2}}}-{\sqrt {{Y}_{3}}}}
X
4
=
−
Y
1
−
(
Y
2
−
Y
3
)
{\displaystyle {{X}_{4}}=-{\sqrt {{Y}_{1}}}-\left({\sqrt {{Y}_{2}}}-{\sqrt {{Y}_{3}}}\right)}
sgn függvény csak a gyökök sorrendjén változtat nem a a végeredményen, vagyis ez esetben nem szükséges odaírni.
(
A
2
+
2
Y
1
)
2
−
C
{\displaystyle {\sqrt {{{\left({\frac {A}{2}}+2{{Y}_{1}}\right)}^{2}}-C}}}
B
=
0
{\displaystyle B=0}
Az
X
4
+
A
⋅
X
2
+
B
⋅
X
+
C
=
0
{\displaystyle {{X}^{4}}+A\cdot {{X}^{2}}+B\cdot X+C=0}
X
1
,
2
=
−
sgn
(
B
)
⋅
Y
1
±
(
Y
2
+
Y
3
)
X
3
,
4
=
sgn
(
B
)
⋅
Y
1
±
(
Y
2
−
Y
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{X}_{1,2}}=-\operatorname {sgn} \left(B\right)\cdot {\sqrt {{Y}_{1}}}\pm \left({\sqrt {{Y}_{2}}}+{\sqrt {{Y}_{3}}}\right)\\&{{X}_{3,4}}=\operatorname {sgn} \left(B\right)\cdot {\sqrt {{Y}_{1}}}\pm \left({\sqrt {{Y}_{2}}}-{\sqrt {{Y}_{3}}}\right)\\\end{aligned}}}
Az általános negyedfokú egyenlet pedig:
a
⋅
x
4
+
b
⋅
x
3
+
c
⋅
x
2
+
d
⋅
x
+
e
=
0
{\displaystyle a\cdot {{x}^{4}}+b\cdot {{x}^{3}}+c\cdot {{x}^{2}}+d\cdot x+e=0}
a következő helyettesítéssel:
x
=
−
b
4
a
+
X
{\displaystyle x=-{\frac {b}{4a}}+X}
átalakítható a fenti negyedfokú egyenletre:
X
4
+
(
−
3
b
2
8
a
2
+
c
a
)
⏟
A
⋅
X
2
+
(
b
3
8
a
3
−
b
c
2
a
2
+
d
a
)
⏟
B
⋅
X
+
(
−
3
b
4
256
a
4
+
b
2
c
16
a
3
−
b
d
4
a
2
+
e
a
)
⏟
C
=
0
{\displaystyle {{X}^{4}}+\underbrace {\left(-{\frac {3{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}}}+{\frac {c}{a}}\right)} _{A}\cdot {{X}^{2}}+\underbrace {\left({\frac {{b}^{3}}{8{{a}^{3}}}}-{\frac {bc}{2{{a}^{2}}}}+{\frac {d}{a}}\right)} _{B}\cdot X+\underbrace {\left(-{\frac {3{{b}^{4}}}{256{{a}^{4}}}}+{\frac {{{b}^{2}}c}{16{{a}^{3}}}}-{\frac {bd}{4{{a}^{2}}}}+{\frac {e}{a}}\right)} _{C}=0}
így az általános negyedfokú egyenlet gyökei:
x
1
,
2
,
3
,
4
=
−
b
4
a
+
X
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle {{x}_{1,2,3,4}}=-{\frac {b}{4a}}+{{X}_{1,2,3,4}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Y}_{1}}=-{\frac {A}{6}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC}{2\cdot {{12}^{3}}}}+{\sqrt {\Delta }}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC}{2\cdot {{12}^{3}}}}-{\sqrt {\Delta }}}}\\&{\sqrt {{Y}_{2}}}+{\sqrt {{Y}_{3}}}={\sqrt {-{\frac {A}{2}}-{{Y}_{1}}+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{2}}+2{{Y}_{1}}\right)}^{2}}-C}}}}\\&{\sqrt {{Y}_{2}}}-{\sqrt {{Y}_{3}}}=i\cdot {\sqrt {{\frac {A}{2}}+{{Y}_{1}}+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{2}}+2{{Y}_{1}}\right)}^{2}}-C}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a59d99ad21e31b9467c1252a0bf66bf84b66484)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Y}_{1}}=-{\frac {A}{6}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}+{\sqrt {\Delta }}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}-{\sqrt {\Delta }}}}\\&{{Y}_{2,3}}=-{\frac {A}{6}}-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}+{\sqrt {\Delta }}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}-{\sqrt {\Delta }}}}\right)\pm i\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}+{\sqrt {\Delta }}}}-{\sqrt[{3}]{-{\frac {BB}{2}}-{\sqrt {\Delta }}}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75586df2c7174c0e3c2de2399d5482951fcf53e)
