„Negyedfokú egyenlet” változatai közötti eltérés

:A '''negyedfokú egyenlet''' olyan [[egyenlet]] melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú [[Polinom#Polinomfüggvények|polinomfüggvény]], a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró. <br /><br />

Általános alakja:   ^{<math>a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e=0 \,</math>}<br />

Megoldását [[Gerolamo Cardano]] inasa és tanítványa, [[Lodovico Ferrari]] (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano ''Ars magna'' című munkájában jelent meg.<br /><br />

Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt [[Niels Henrik Abel]] bizonyította be 1824-ben.<br />

<big>Ha</big> <math>\Delta \ge 0</math><br /><br /> <math>\left( B=0 \right)</math> és <math>\left( A>0 \right)</math> és <math>\left( C=\frac{{{A}^{2}}}{4} \right)</math> esetén:<br /> <math>\begin{align}

& {{x}_{1,2}}=-\frac{b}{4a}+i\cdot \sqrt{\frac{A}{2}} \\

& {{x}_{3,4}}=-\frac{b}{4a}-i\cdot \sqrt{\frac{A}{2}} \\

ellenkező esetben:<br /> <math>\begin{align}

& {{x}_{1,2}}=-\frac{b}{4a}+sig\left( -B \right)\sqrt{-\frac{A}{6}+u+v}\pm \sqrt{-\frac{A}{3}-\left( u+v \right)+\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}} \\

& {{x}_{3,4}}=-\frac{b}{4a}-sig\left( -B \right)\sqrt{-\frac{A}{6}+u+v}\pm i\cdot \sqrt{\frac{A}{3}+\left( u+v \right)+\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}} \\

<big>Ha</big> <math>\Delta <0</math><br /><br /> <math>\left( C>\frac{{{A}^{2}}}{4} \right)</math> vagy <math>\left( A>0 \right)</math> esetén:<br /><br /> <math>\begin{align}

& {{x}_{1,2}}=-\frac{b}{4a}-sig\left( -B \right)\sqrt{{{Y}_{1}}}\pm i\cdot \left( \sqrt{-{{Y}_{2}}}+\sqrt{-{{Y}_{3}}} \right) \\

& {{x}_{3,4}}=-\frac{b}{4a}+sig\left( -B \right)\sqrt{{{Y}_{1}}}\pm i\cdot \left( \sqrt{-{{Y}_{2}}}-\sqrt{-{{Y}_{3}}} \right) \\

ellenkező esetben mind a négy gyök valós:<br /><br /> <math>\begin{align}

& {{x}_{1,2}}=-\frac{b}{4a}+sig\left( -B \right)\sqrt{{{Y}_{1}}}\pm \left( \sqrt{{{Y}_{2}}}+\sqrt{{{Y}_{3}}} \right) \\

& {{x}_{3,4}}=-\frac{b}{4a}-sig\left( -B \right)\sqrt{{{Y}_{1}}}\pm \left( \sqrt{{{Y}_{2}}}-\sqrt{{{Y}_{3}}} \right) \\

Megjegyzések:<br /><br /> <math>A=-\frac{3{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}}+\frac{c}{a}</math>, <math>B=\frac{{{b}^{3}}}{8{{a}^{3}}}-\frac{bc}{2{{a}^{2}}}+\frac{d}{a}</math>, <math>C=-\frac{3{{b}^{4}}}{256{{a}^{4}}}+\frac{{{b}^{2}}c}{16{{a}^{3}}}-\frac{bd}{4{{a}^{2}}}+\frac{e}{a}</math><br /><br /><br /> <math>P=-\frac{{{A}^{2}}}{48}-\frac{C}{4}</math>, <math>Q=-\frac{{{A}^{3}}}{864}-\frac{{{B}^{2}}}{64}+\frac{AC}{24}</math>, <math>\Delta ={{\left( \frac{Q}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{P}{3} \right)}^{3}}</math>, <math>u,v=\sqrt[3]{-\frac{Q}{2}\pm \sqrt{\Delta }}</math><br /><br /><br /> <math>{{Y}_{k}}=-\frac{A}{6}+2\sqrt{-P/3}\cdot \cos \left( \frac{2\left( k-1 \right)\cdot \pi }{3}+\frac{1}{3}\cdot \arccos \frac{-Q/2}{\sqrt{-{{\left( P/3 \right)}^{3}}}} \right)</math><br /><br /><br /> <math>sig\left( x \right)=\left\{ \begin{align}

& +1,x\ge 0 \\

& -1,x<0 \\

& {{X}_{1,2}}=+{{y}_{1}}\pm \left( {{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right) \\

& {{X}_{3,4}}=-{{y}_{1}}\pm \left( {{y}_{2}}-{{y}_{3}} \right) \\

& -2\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)=A \\

& -8{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=B \\

& {{\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{2}}-4\left( y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2} \right)=C \\

& y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}=-\frac{A}{2} \\

& y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}=\frac{{{A}^{2}}}{16}-\frac{C}{4} \\

& y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2}=\frac{{{B}^{2}}}{64} \\

& P=-\frac{{{A}^{2}}}{48}-\frac{C}{4} \\

& Q=-\frac{{{A}^{3}}}{864}-\frac{{{B}^{2}}}{64}+\frac{AC}{24} \\

& \Delta ={{\left( \frac{Q}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{P}{3} \right)}^{3}} \\

& u,v=\sqrt[3]{-\frac{Q}{2}\pm \sqrt{\Delta }} \\

& y_{1}^{2}=-\frac{A}{6}+u+v \\

& y_{2,3}^{2}=-\frac{A}{6}-\frac{u+v}{2}\pm i\frac{\left( u-v \right)\sqrt{3}}{2} \\

& {{X}_{1,2}}=+sig\left( -B \right)\sqrt{-\frac{A}{6}+u+v}\pm \sqrt{-\frac{A}{3}-\left( u+v \right)+\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}} \\

& {{X}_{3,4}}=-sig\left( -B \right)\sqrt{-\frac{A}{6}+u+v}\pm i\cdot \sqrt{\frac{A}{3}+\left( u+v \right)+\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}} \\

& {{X}_{1,2}}=+i\cdot \sqrt{\frac{A}{2}} \\

& {{X}_{3,4}}=-i\cdot \sqrt{\frac{A}{2}} \\

& {{X}_{1,2}}=-sig\left( -B \right)\cdot {{y}_{1}}\pm i\cdot \left( \sqrt{-y_{2}^{2}}+\sqrt{-y_{3}^{2}} \right) \\

& {{X}_{3,4}}=+sig\left( -B \right)\cdot {{y}_{1}}\pm i\cdot \left( \sqrt{-y_{2}^{2}}-\sqrt{-y_{3}^{2}} \right) \\

& {{X}_{1,2}}=+sig\left( -B \right)\cdot {{y}_{1}}\pm \left( {{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right) \\

& {{X}_{3,4}}=-sig\left( -B \right)\cdot {{y}_{1}}\pm \left( {{y}_{2}}-{{y}_{3}} \right) \\