„Halmazrendszer” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a -szerencsére + szójav. |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
'''Halmazrendszeren''' a [[matematika|matematikában]] többféle, de sok tekintetben hasonló dolgot érthetünk:
# A [[naiv halmazelmélet]]ben szokás ''halmazrendszer'' vagy '''halmazcsalád''' néven beszélni olyan [[halmaz]]okról, melyeknek elemei mind halmazok; erre a kétértelműség fellépte miatt alkalmazzuk inkább szigorúan a [[halmazcsalád]] elnevezést;
# ''Szűkebb értelemben'' vett '''halmazrendszeren''' (a szakirodalomban gyakran ''indexezett'' vagy '''indexelt halmazrendszer''' néven fordul elő) olyan „rendezett [[multihalmaz]]t” érthetünk („rendezett” = az elemek sorrendje is számít<ref>A „rendezett” kifejezést itt tehát a [[naiv halmazelmélet]]ben alkalmazott módon használtuk, vö. „rendezett pár”, és nem a gyakoribb, analitikus jellegű értelemben: „[[rendezési reláció]]val ellátott”.</ref>; „multihalmaz” = az elemek ismétlődhetnek, többször is előfordulhatnak), melynek elemei is halmazok. Rövidebben, halmazrendszeren egyszerűen egy olyan [[elemrendszer]]t
# A [[kombinatorika|kombinatorikában]] használják a [[hipergráf]] szó helyett
== Definíció ==
Legyen <code>I</code> tetszőleges halmaz, az ún. '''''indexhalmaz''''' (ez gyakran a pozitív egészek '''N'''<sup>+</sup> halmaza). Legyen továbbá <code>''U''</code> másik tetszőleges halmaz, és jelölje [[részhalmaz]]ai halmazát, azaz [[hatványhalmaz]]át ''P''(''U'').
Ekkor valamely
21. sor:
A halmazrendszer fogalma a [[halmazelmélet]] fogalmaira úgy alapítható precízen, ha függvényként ([[elemrendszer]]ként) értelmezzük. E modellben az elemeknek – tag(halmaz)oknak – indexekből és taghalmazokból álló [[rendezett pár]]ok felelnek meg, ezért a taghalmazok „sorrendjére” nézve megkülönböztető erővel bír utóbbiaknak a különböző indexekkel való párosítása még akkor is, ha az indexhalmazon semmiféle [[Rendezett halmaz|rendezés]], belső reláció nincs értelmezve. Ugyanezen ok, az eltérő indexek miatt ugyanazon taghalmaz "többször is előfordulhat", nevezetesen ha a,b∈I is a≠b, akkor az (a,A), (b,A) pár különböző, noha „ugyanazt a taghalmazt reprezentálja”.
A halmazcsalád és (indexelt) halmazrendszer fogalma tehát különbözik: a halmazcsalád "rendezetlen" halmazok egy halmaza, míg a halmazrendszer bonyolultabb struktúra: "rendezett" halmazok (konkrétan, elem-halmaz-párosok) egy halmaza. A szakirodalomban e két terminus jelentése még ingadozó, sok szerző nemcsak egymástól eltérően használja a "halmazrendszer" kifejezést, de néhányan tudatában is vannak az eltéréseknek; ti. a szakkifejezések rögzítetlenségére kifejezetten fel is hívják a figyelmet
Bár a szakirodalomban a „rendezett” halmazrendszerekre az „indexelt halmazrendszer” kifejezést is szokás alkalmazni - kifejezetten a halmazcsaládok megkülönböztetése miatt - az elnevezés némileg félreérthető; ugyanis halmazcsaládot is lehet indexes alakba írni (ilyenkor a kerek zárójel helyett kapcsosat írunk: {A<sub>i</sub>}<sub>i∈I</sub>). Az indexelt halmazcsaládok eo ipso halmazrendszerek (a definíció miatt), a kapcsos zárójel használata csak azt hangsúlyozza, hogy külön kikötjük a tagok ismételhetetlenségét (azaz az f:I→''U'' indexelő függvény [[injektív függvény|injektivitását]]).
35. sor:
* [[Metszet (halmazelmélet)|Metszet]]: <math> \bigcap \left( \mathcal{R} \right) </math> <math> = </math> <math> \bigcap_{i \in I} U _{i} </math> <math> = </math> <math> \left\{ x \in \mathcal{U} \ \mathcal{j} \ \forall i \in I : x \in U_{i} \right\} </math>.
* Diszjunkt unió vagy szimmetrikus differencia: az unió definíciójában az egzisztenciális kvantort unicit egzisztenciális kvantorra (<math> \exist ! </math> = „létezik pontosan egy … ”) kell cserélni;
<!-- * direkt összeg -->
Számos fogalom sokkal kényelmesebben és ugyanakkor precízebben leírható a második felfogásban definiált halmazrendszerek segítségével, mint pusztán halmazcsaládokra hagyatkozva.
43. sor:
Legyen ''A'' := (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> és ''B'' := (B<sub>j</sub>)<sub>j∈J</sub> két, az I ill. J indexhalmazok feletti halmazrendszer. Ekkor őket '''izomorfnak''' nevezzük, ha van az ∪''(A)'' és a ∪''(B)'' halmazok közt olyan φ:∪''(A)''→∪''(B)'' [[bijekció]], melyre igaz, hogy tetszőleges a,α∈∪''(A)''-ra és i∈I-re akkor és csak akkor igaz a,α∈A<sub>i</sub>, ha φ(a),φ(α)∈∪''(B)''-hez is található olyan j∈J index, hogy φ(a),φ(α)∈B<sub>j</sub>. Tehát ha van olyan bijekció, hogy az egy taghalmazba tartozó elemek képei is egy taghalmazba tartozzanak.
Másképp szólva (de ugyanazt mondva), az ''A'' := (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> és ''B'' := (B<sub>j</sub>)<sub>j∈J</sub> két, az I ill. J indexhalmazok feletti halmazrendszert izomorfnak nevezzük, ha van olyan φ:∪''(A)''→∪''(B)'' bijektív leképezés, hogy minden i∈I-re φ[A<sub>i</sub>] := {b∈B | ∃a∈A<sub>i</sub> : φ(a)=b} = B<sub>j</sub> legyen; és hasonló teljesül tetszőleges j∈J esetén is. Röviden szólva, ha van olyan bijekció a rendszerek unióhalmazai közt, hogy az ''A'' rendszer tetszőleges indexelt
== Hivatkozások ==
| |||