„Racionális törtfüggvény” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
85. sor:
* Az <math>f\colon x \mapsto \frac{2x - 1}{x^2 + 1}</math> lineáris törtfüggvény esetén a számláló foka <math>z = 1</math> és a nevező foka <math>n = 2</math>, így az <math>x \to \pm \infty</math> határérték <math>0</math>.
* Az <math>f\colon x \mapsto \frac{x^3 - 3x + 2}{2x - 3x^3}</math> racionális törtfüggvény számlálójának foka <math>z = 3</math>, nevezőjének foka <math>n = 3</math>; a főegyütthatók <math>a_3 = 1</math> und <math>b_3 = -3</math>, tehát adódik az aszimptota egyenlete: <math>y = -\frac{1}{3}</math>.
* Az <math>f\colon x \mapsto \frac{x^2}{x-1}</math> racionális törtfüggvény számlálójának foka <math>z = 2</math>, nevezőjének foka <math>n = 1</math>; az <math>a_2 = 1</math> és <math>b_1 = 1</math> főegyütthatókkal adódik, hogy
<math>f(x) \to \sgn\left(\tfrac{1}{1}\right)\cdot\infty = +\infty</math>,
Mivel <math>z - n = 1</math> páratlan, azért <math>x \to -\infty</math> határértékének előjele az előző ellentettje. A függvény írható úgy is, mint <math>f\colon x \mapsto x + 1 + \frac{1}{x-1}</math>, a ferde aszimptota egyenlete <math>y = x + 1</math>, amivel az előbbi értékek könnyebben adódnak.
==Diszkusszió==
Az <math>f={p\over q}\colon x\mapsto \frac{p(x)}{q(x)}</math> függvényterm grafikonjának elemzésére a következő diszkusszió végezhető.
93 ⟶ 94 sor:
Mivel szakadásai a <math>q</math> gyökeiben vannak, a gyökök száma pedig véges, azért az <math>f</math> periodikusságáról nem lehet szó.
Egy polinomfüggvény akkor páros vagy páratlan, ha minden kitevője páros vagy páratlan. Ha a számláló és a nevező típusa is ilyen, akkor az
* Ha <math>p</math> és <math>q</math> egyszerre páros vagy páratlan, akkor a racionális törtfüggvény páros.
* Ha <math>p</math> és <math>q</math> egyike páros, másika páratlan, akkor <math>f</math> páratlan.
99 ⟶ 100 sor:
Egyéb esetben nehéz <math>f</math> szimmetriáját meghatározni.
Példák:
* Az <math>f(x) = \frac{2x^3 - 3x}{x^2+1}</math> függvény szimmetrikus az origóra, mivel <math>p</math> páratlan és <math>q</math> páros, a függvény páratlan.
* Az <math>f\colon x \mapsto \frac{x^5-x^3}{x^3+x}</math> függvény szimmetrikus az y tengelyre, mivel <math>p</math> és<math>q</math> is páratlan, így a hányados függvény páros. Kiemelve egy ''x''-et a számlálóból és a nevezőből, egyszerűsíthetjük a függvényt az <math>f(x) = \frac{x^4-x^2}{x^2+1} * \frac{x}{x}</math>. Mivel itt <math>p</math> és <math>q</math> páros, azért a hányados függvény is páros.
* Az <math>f(x) = \frac{x}{x-1}</math> függvényről nem lehet szimmetriát megállapítani az alakja alapján, de megmutatható, hogy szimmetrikus a
*: <math>f(1+x) - 1 = \frac{1+x}{(1+x)-1} - 1 = \frac{1+x}{x} - \frac{x}{x} = \frac{1}{x}</math> és
*: <math>1 - f(1-x) = 1 - \frac{1-x}{(1-x)-1} = \frac{x}{x} + \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x}</math>.
:Eszerint elvégezve az átalakításokat <math>f(1+x) - 1 = 1 - f(1-x)</math>, tehát szimmetrikus az szimmetrikus a
===Értelmezési tartomány, nevezetes pontok===
A racionális törtfüggvény nincs értelmezve a <math>q</math> polinom gyökeiben. Nullhelyei azok a helyek, melyek gyökei <math>p</math>-nek, de nem gyökei <math>q</math>-nak.
115 ⟶ 116 sor:
Példa:
* Az <math>f\colon x \mapsto \frac{x-1}{(2x-4)^2}</math> függvény értelmezési tartománya <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{2\}</math>, mivel a <math>q\colon x \mapsto (2x-4)^2</math> nevezőnek nullhelye <math>x = 2</math>. A függvénynek nullhelye van
==Polinomok hányadosteste==
| |||