Dirac-mérték

A Dirac-mérték egy matematikai fogalom, ami nagyságot rendel egy halmaz részhalmazaihoz, annak függvényében, hogy egy meghatározott érték eleme-e vagy sem. Ennek révén lehet formalizálni a Dirac-delta függvényt, aminek fontos alkalmazásai vannak a modern fizikában és különféle mérnöki-technikai területeken.

Az $\{x,y,z\}$ háromelemű halmaz Hasse-diagramja. Erre a halmazra a $\delta _{x}$ Dirac-mérték a bal felső négyesre 1-et, a többi elemre 0-t ad eredményül.

Definíció

Legyen $(M,{\mathcal {A}})$ mérhető tér, és legyen $x\in M$. Ekkor Dirac-mértéknek nevezzük a következő függvényt:

$\delta _{x}:{\mathcal {A}}\to \{0,1\},A\mapsto {\begin{cases}1,{\text{ ha }}x\in A\\0,{\text{ ha }}x\notin A\end{cases}}$

A Dirac-mérték egy valószínűségi mérték, az $M$ mintatéren a majdnem biztosan bekövetkező $x$ eseményt jellemzi. Úgy is tekinthetnénk, hogy egyetlen atom $x$-ben, azonban a Dirac-mérték atomi mértékként kezelése helytelen, mivel a Dirac-mérték egy delta-sorozat határértéke. Sokkal inkább kezelhető az $M$ feletti valószínűségi mértékek konvex halmazának határpontjaként.

Maga a név a Dirac-féle δ-függvényre vezethető vissza. A Dirac mérték egyfajta Schwartz-eloszlásnak is tekinthető, például a valós számegyenesen. Ebben az esetben

$\int _{M}f(y)\mathop {{\text{d}}\delta _{x}(y)} =f(x)$,

vagy más formában

$\int _{M}f(y)\delta _{x}(y)\mathop {{\text{d}}y} =f(x)$.

Ilyen formában a δ-disztribúció definíciójaként is szolgál a Lebesgue-integrálelméletben.

A Dirac-mérték tulajdonságai

• Legyen $(M,{\mathcal {A}})$ mérhető tér, és $\delta _{x}$ egy ehhez tartozó Dirac-mérték. Ekkor $\delta _{x}$ valószínűségi mérték $M$ felett, és mint ilyen, véges.
• Legyen $(M,T)$ topológiai tér, és ${\mathcal {A}}$ legalább olyan finomságú, mint a $T$ feletti Borel-féle σ-algebra. Ekkor
  • $\delta _{x}$ szigorúan pozitív mérték, ha $x$ eleme minden nem üres halmaznak $T$-ben. Ez fordítva is igaz.
  • Lokálisan véges mérték, ez következik abból, hogy valószínűségi mérték is.
  • Ha $M$ Hausdorff-tér a Borel-féle σ-algebrával, akkor $\delta _{x}$ kielégíti a reguláris belső mérték feltételeit, mivel minden egyelemű halmaz kompakt.
  • A fenti esetben $\delta _{x}$ Radon-mérték is.
  • Ha $T$ elég finom ahhoz, hogy $\{x\}$ zárt legyen, akkor $\delta _{x}$ tartója is $\{x\}$ lesz. Mi több, $\delta _{x}$ az egyetlen $\{x\}$-tartójú valószínűségi mérték. Minden egyéb esetben $\mathop {\text{supp}} (\delta _{x})$ a lezárása lesz $\{x\}$-nak.
  • Ha $M=\mathbf {R} ^{n}$ euklideszi tér a szokásos σ-algebrával és az $n$-dimenziós Lebesgue-mértékkel, akkor erre nézve $\delta _{x}$ szinguláris mérték. Ezt egyszerű belátni: legyen $A:=\mathbf {R} ^{n}\setminus \{x\}$ és $B:=\{x\}$, ekkor $\delta _{x}(A)=\lambda ^{n}(B)=0$.

Általánosítás

A diszkrét mérték hasonlít a Dirac-mértékhez, azonban egyetlen helyett megszámlálhatóan sok pontra van értelmezve. Általánosabban minden mérték diszkrét a valós számegyenesen, ha a tartója legalább megszámlálható halmaz.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Dirac measure című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.