Karakterisztikus részcsoport

A csoportelméletben karakterisztikus részcsoportnak nevezzük a $G$ csoport $H$ részcsoportját, ha $H$-t (mint halmazt) $G$ minden automorfizmusa fixen hagyja.

Definíció

Legyen $G$ csoport és legyen $H\leq G$. $H$-t akkor nevezzük karakterisztikus részcsoportnak, ha valahányszor $\phi \in Aut\,G$ egy automorfizmusa $G$-nek, és $h\in H$, szükségképpen $\phi (h)\in H$. Azt a tényt, hogy $H$ karakterisztikus részcsoportja $G$-nek, így jelöljük: $H\;\mathrm {char} \;G$.

Példák

• Tetszőleges csoportnak triviális karakterisztikus részcsoportja önmaga és az egyelemű csoport.
• A kvaterniócsoportnak egyetlen kételemű részcsoportja van; ez szükségképpen karakterisztikus.
• Minden topologikus csoport egységkomponense karakterisztikus.

Tulajdonságai

A „karakterisztikus részcsoportja” reláció tranzitív. Ha tehát $H\;\mathrm {char} \;G$ és $G\;\mathrm {char} \;F$, akkor $H\;\mathrm {char} \;F$. Ez azért van, mert $F$ tetszőleges automorfizmusának $G$-re való megszorítása automorfizmusa $G$-nek.

Ha $H\;\mathrm {char} \;G$, akkor szükségképpen $H\triangleleft G$, hiszen $H\triangleleft G$ éppen azt jelenti, hogy $H$-t fixen hagyják $G$ belső automorfizmusai, márpedig ha $H\;\mathrm {char} \;G$, akkor $H$-t az összes automorfizmus fixen hagyja.

Hasonlóképpen látható be az is, hogy ha $H\;\mathrm {char} \;G$ és $G\triangleleft F$, akkor $H\triangleleft F$.

$G$ centruma mindig karakterisztikus $G$-ben, hiszen ha $g\in G$ a centrum eleme, akkor $g$ minden elemmel felcserélhető, ez viszont nyilván $\phi (g)$-re is igaz bármilyen $\phi \in Aut\,G$ esetén.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Rose, John S. Group Theory (angol nyelven). New York: Dover Publications (1994). ISBN 0-486-68194-7