Szögfelezőtétel
A szögfelező- vagy Apollóniusz-tétel az Euklideszi geometria egyik tétele, amely szerint egy háromszög szögfelezőinek talpponja a szomszédos oldalak arányában osztja a szemközti oldalt:
ahol:
- A, B és C a háromszög csúcsai,
- Di és De a C-ből induló belső és külső szögfelező talppontja
Bizonyítása
szerkesztésPárhuzamos szelőkkel
szerkesztésBelső szögfelezőre:
Az egyik alapon levő, például a B csúcsból párhuzamost húzok a belső szögfelezővel, ez metszi az AC egyenest egy B’2 pontban. A külső szögfelezőre való tükrözés után B képe BB’2 egyenesen marad, mert a belső szögfelező merőleges a külsőre, és B képe a CB képén, CB’2 egyenesen is rajta lesz, tehát B képe B’2, tehát BC = CB’2. A párhuzamos szelők tétele miatt .
A külső szögfelezőre hasonlóan megy.
Szinusztétel használatával
szerkesztésA szinusztételbe beírva azonnal adódik a kívánt összefüggés:
Külső szögfelezőre ugyanígy.
Megfordítása
szerkesztésEgy lehetséges megfordítás: ha adott A, B, C és Di hogy , akkor igaz-e, hogy ACDi< szög egyenlő BCDi< szöggel.
Duálisa
szerkesztésA távolság és szög (szinusza) fogalmakat felcserélve jutunk a szögfelezőtétel duálisához. Az oldalfelezőtétel szerint egy háromszögben egy szöget a szemközti oldalfelezőponttal összekötő egyenes szinuszosan olyan arányban oszt, mint a szemben levő oldalon a megfelelő szögek szinuszai. Ez nem túl nevezetes összefüggés, de igazolható a szinusztétel segítségével.
Apollóniusz-kör
szerkesztésA szögfelezőtétel következménye, hogy az olyan pontokból, amelyeknek két adott ponttól, A-tól és B-től vett távolságaik aránya egy adott állandó, merőlegesen fog látszódni a külső és belső szögfelező talppontja, tehát rajta lesz azok Thalész-körén.