Szerkesztő:Malatinszky/Teljes rendezett test
A matematikai analízisben teljes rendezett testnek nevezünk egy rendezett testet, ha rendelkezik azzal a teljességnek nevezett tulajdonsággal, amit intuitív módon úgy fogalmazhatunk meg, hogy elemei között nincsenek rések vagy lyukak. A teljesség fogalmára több formális definíció is létezik, amelyek arkhimédeszien rendezett testek esetében egymással ekvivalensek; mi több, nevezetes tény, hogy csak egyetlen teljes arkhimédeszien rendezett test van: a valós számok teste. A rendezett testek közül nem teljes például a racionális számok teste, amelyben a -nél kisebb és a -nél nagyobb racionális számok között nincsen racionális szám. A teljes rendezett test fogalma alapvető fontosságú szerepet játszik a matematikai analízisben.
Definíciók szerkesztés
A teljes rendezett test fogalmára számos formális definíció létezik. Ezek mindegyikében közös kiindulópont egy (nem feltétlenül arkhimédeszien) rendezett test.
Erős teljességi axiómák szerkesztés
Erősen teljesnek nevezzünk egy rendezett testet, ha teljesíti az alábbi három feltétel valamelyikét. Ezek a feltételek ekvivalensek, és belőlük következik, hogy a test arkhimédeszien rendezett. Nevezetes tény az, hogy erősen teljes rendezett test csak egy van: a valós számok teste.
Legkisebb felső korlát szerkesztés
A teljesség ezen definíciója szerint teljes, ha minden felülről korlátos, nemüres részhalmazának van legkisebb felső korlátja.
Dedekind-szeletek szerkesztés
Ez a Richard Dedekindtől származó definíció azt mondja, hogy amennyiben felírható az és halmazok diszjunkt uniójaként úgy, hogy bármely eleme kisebb bármely eleménél, akkor vagy -nak van maximuma, vagy -nek van minimuma. ( -t és -t Dedekind-szeleteknek nevezzük. Szemléletesen: ha a számegyenest félbetörjük, akkor a töréspont része lesz valamelyik félnek.) Könnyen látható ennek a definíciónak az ekvivalenciája a legkisebb felső korlát létezését kimondóval, ha meggondoljuk, hogy egy felülről korlátos, nemüres halmaz felső korlátainak halmaza, illetve Dedekind-szeleteket alkotnak.
A korlátos monoton sorozatok konvergenciája szerkesztés
A teljességnek ez a definíciója azt kívánja meg, hogy -ben minden korlátos monoton sorozatnak legyen határértéke. Ez a tulajdonság következik a Dedekind-féléből, hiszen egy korlátos sorozat felső határainak halmaza az halmazzal együtt Dedekind-szeletet alkot, és illetve határértéke a sorozatnak.
Ha a korlátos monoton sorozatok konvergensek, akkor arkhimédeszien rendezett, hiszen különben konvergens volna az egész számok sorozata is. Ha viszont arkhimédeszien rendezett, és egy Dedekind-szelet, akkor konstruálható olyan -beli (tehát alulról korlátos) monoton csökkenő sorozat, amelynek -edik eleme -nél közelebb van valamely eleméhez. Ennek a sorozatnak a határértéke vagy vagy , tehát a Dedekind-féle definíció következik a monoton korlátos sorozatokra vonatkozóból.
Gyenge teljességi axiómák szerkesztés
A Cauchy-sorozatok konvergenciája szerkesztés
Egymásba ágyazott intervallumok metszete szerkesztés
Nem-arkhimédeszi teljes rendezett testek szerkesztés
Példák szerkesztés
Számos példát találhatunk teljes rendezett testekre.