Teljes várható érték tétele

A teljes várható érték tétele a valószínűségszámításban azt mondja ki, hogy ha $X$ $\operatorname {E} (X)$ várható értékű valószínűségi változó, és $Y$ valószínűségi változó, akkor

$\operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),$

azaz $X$ $Y$-ra vett feltételes várható értéke megegyezik $X$ várható értékével.

Speciálisan, ha ${\left\{A_{i}\right\}}_{i}$ véges, vagy legfeljebb megszámlálható partíciója a valószínűségi mezőnek, akkor

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.$

Példa

Tegyük fel, hogy két gyár villanykörtéket állít elő! Az $X$ gyár termékei átlagosan 5000, az $Y$ gyáréi átlagosan 4000 órán át működnek. Az $X$ gyár állítja elő az összes villanykörte 60%-át. Mennyi egy villanykörte várható élettartama?

A teljes várható érték tételével:

$\operatorname {E} (L)=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)=5000(0,6)+4000(0,4)=4600$

ahol:

• $\operatorname {E} (L)$ egy villanykörte várható élettartama
• $\operatorname {P} (X)={6 \over 10}$ annak a valószínűsége, hogy az $X$ gyárban készült
• $\operatorname {P} (Y)={4 \over 10}$ annak a valószínűsége, hogy az $Y$ gyárban készült
• $\operatorname {E} (L\mid X)=5000$ az $X$ gyárban készült villanykörte várható élettartama
• $\operatorname {E} (L\mid Y)=4000$ az $Y$ gyárban készült villanykörte várható élettartama

Eszerint a villanykörte várható élettartama 4600 óra.

Bizonyítás

Diszkrét eset

Állítás: Legyen $X$ és $Y$ diszkrét valószínűségi változó ugyanazon a valószínűségi mezőn, továbbá létezzen az $\operatorname {E} [X]$ várható érték, $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty$. Ha $\{A_{i}\}$ az $\Omega$ valószínűségi mező partíciója, akkor

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.$

Bizonyítás:

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}$

Ha a sor véges, akkor az összegzések felcserélhetők, így

${\begin{aligned}\sum _{x}\sum _{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}$

Nem véges esetben a sor nem lehet feltételesen konvergens, mivel $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty .$ Ha $\operatorname {E} [X_{+}]$ és $\operatorname {E} [X_{-}]$ véges, akkor a konvergencia abszolút; ha pedig $\operatorname {E} [X_{+}]$ vagy $\operatorname {E} [X_{-}]$ nem véges, akkor a végtelenhez tart. Mindkét esetben felcserélhető az összegzés az összegre való hatás nélkül.

Általános eset

Legyen $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ valószínűségi mező, amin adva vannak az ${\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}$ σ-algebrák. Ekkor a téren egy $X$ valószínűségi változóra, aminek van várható értéke, vagyis $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty$, teljesül, hogy

$\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{.}}$

Bizonyítás: Mivel a feltételes várható érték Radon–Nikodym-derivált, elegendő ezeket bizonyítani:

• $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}$-mérhető
• $\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} ,$ minden $G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}$ esetén.

Az első állítás a feltételes várható érték definíciójából adódik. A második bizonyításához jegyezzük meg, hogy

${\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}$

Így létezik az $\textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P}$ integrál, vagyis nem egyenlő $\infty -\infty$-nel. Ekkor teljesül a második állítás, hiszen $G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}$ implies

$\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .$

Következmény: Speciálisan, ha ${\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}$ és ${\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)$, akkor

$\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].$

Partíciós formula

${\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}$

ahol $I_{A_{i}}$ az $A_{i}$ halmaz indikátorfüggvénye.

Ha az ${\{A_{i}\}}_{i=0}^{n}$ partíció véges, akkor a linearitás miatt az előbbi kifejezés az

$\operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),$

alakot ölti, és készen vagyunk.

Egyébként a dominált konvergencia tételével megmutatható, hogy

$\operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).$

innen minden $n\geq 0$ esetén

$\left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\cup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.$

Mivel $\Omega$ minden eleme egy, és csak egy $A_{i}$ halmazba tartozik, hamar igazolható, hogy ${\left\{\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right\}}_{n=0}^{\infty }$ pontonként konvergál $X$-hez. Az eredeti feltevés szerint $\operatorname {E} |X|<\infty$. Innen a dominált konvergencia tétele nyújtja az eredményt.

Források

• Billingsley, Patrick. Probability and measure. New York: John Wiley & Sons (1995). ISBN 0-471-00710-2  (Theorem 34.4)
• Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Law of total expectation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.