Vektorpotenciál (matematika)

A vektorpotenciál a vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Induljunk ki egy vektormezőből (B). A vektorpotenciál (A) az a vektormező, amelynek az adott vektormező a rotációja:

Ha a vektormező differenciálható, akkor és csak akkor létezik vektorpotenciálja, ha forrásmentes, vagyis örvénymező. Mivel mágneses monopólusok nincsenek, ezért a mágneses mező forrásmentes.

A mágneses mező örvényes volta következtében áramok jelenlétében nem jellemezhető skalárpotenciállal. Az elektromágneses tér számításánál a mágneses vektorpotenciál bevezetése nyújtja a megoldást. Ugyanis az Aharonov-Bohm-hatás nem magyarázható csupán a áramsűrűséggel.

A vektorpotenciál felhasználásával egyszerűbbé válnak a Maxwell-egyenletek, ezzel láthatóvá válik, hogy a helyfüggő áramsűrűséggel vett konvolúció vektorpotenciálja számítható adott áramsűrűség vektorpotenciáljaként is, és innen számítható a mágneses indukció és az áramsűrűség is.

DefinícióSzerkesztés

A   forrásmentes vektormező vektorpotenciálja az az   vektormező, amelyre

 

ahol is   a rotáció. A forrásmentességnek azért kell teljesülnie, mert

 

minden kétszer differenciálható vektormezőre.

Az elektrodinamikában az   elektromos mezőre

 

ahol   skalárpotenciál.

Kiegészítve a Lorenz-mértékkel levezethetők a Maxwell-egyenletek. A magnetosztatikában a Coulomb-mértéket használják, ami az előbbi statikus határesete.

A kvantumelektrodinamikában és a relativitáselméletben a skalár- és vektorpotenciált a négyespotenciálban foglalják össze:

 

TulajdonságokSzerkesztés

(1) A vektorpotenciál csak egy gradiensmező erejéig meghatározott a gradiensmező örvénymentessége miatt. Tehát minden   skalármezőre

 
 
A különböző mértékkel ellátott vektorpotenciálok is ugyanazt a mágneses mezőt adják. Ez a mágneses mező mértékinvarianciája.

(2) A vektorpotenciál nem konzervatív. Ha mégis, akkor az   skalármező gradiense lenne, így:

 

(3) A magnetosztatikában a Coulomb-mérték szerinti vektorpotenciál forrásmentessé tehető:

 .

(4) Ezzel szemben az elektrodinamikában nem statikus viselkedés esetén azonban többnyire a Lorenz-mértékre van szükség. Ekkor ugyanis az elektromágneses hullámmező számításához fontossá válik a következő kapcsolat:

  Ahol   skalárpotenciál, és   a vákuumbeli fénysebesség.

(5) A magnetosztatikában a vektorpotenciál teljesíti a Poisson-egyenletet, amire (a vákuum   permittivitásával és a vákuum   permeabilitásával):

 .
Innen a vektorpotenciál kifejezése konvolúció felhasználásával: (lásd Green-függvény):
 

A   és a   kifejezéseket   és   is jelölheti.

(6) Az elektrodinamikában a Poisson-egyenlet kiterjeszthető a vektorpotenciálra felírt (inhomogén) hullámegyenletté:

 ,
ahol   a d'Alembert-operátor.

Az egyenlet (inhomogén) megoldása a késleltetett vektorpotenciál:

 , mit  .

A homogén megoldást a kezdeti feltételek teszik egyértelművé.

(7)A vektorpotenciál  ,   és   komponensei és a   skalárpotenciál az elektrodinamikában négyesvektorrá foghatók össze, amit a Lorentz-transzformációk Albert Einstein speciális relativitáselméletében a (x, y, z ,ct) négyessé transzformálnak. Itt c a vákuumbeli fénysebesség.

Kapcsolat a skalárpotenciállalSzerkesztés

A Helmholtz-tétel miatt (majdnem) minden   vektormező előáll az   és a   vektormezők szuperpozíciójaként.   egy   skalármező gradiense,   egy   vektormező rotációja:

 

Ha   konzervatív erőtér, ahol az   erő a legkisebb kényszer elve szerint mindig a   potenciál legnagyobb meredeksége felé irányul, akkor az egyenlet a következő alakra hozható:

 

IrodalomSzerkesztés

  • Dr. Fodor György: Elektromágneses terek, Műegyetemi Kiadó, 1993.
  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5