Wallace–Bolyai–Gerwien-tétel

Wallace–Bolyai–Gerwien-tétel azt mondja ki, hogy az egyenlő területű sokszögek átdarabolhatók egymásba. A tétel megalkotása William Wallace, Bolyai Farkas és a Paul Gerwein matematikusok nevéhez fűződik, akik egymástól függetlenül jutottak hasonló eredményre.

BizonyításaSzerkesztés

A bizonyítás konstruktív: nem használja a kiválasztási axiómát.

A tétel több lépésben bizonyítható.

1. Háromszög átdarabolható téglalappá. Lépései: A legnagyobb oldallal párhuzamos középvonallal egy kis háromszöget vágunk le, és ezt a középvonalra merőleges magasságvonalával vágjuk ketté. A kapott kis háromszögek a trapézt téglalappá egészítik ki.

2. Két, egyenlő alapú és egyenlő magasságú paralelogramma átdarabolható egymásba. Tegyük fel, hogy az   és az   paralelogrammák az   egyenes ugyanazon oldalán fekszenek. Feltehető, hogy az egyik nem téglalap, különben egybevágók, és kész a bizonyítás.

Ha   a   szakaszon helyezkedik el, akkor az   és a   háromszögek egybevágók, ezért az   trapézt ezek segítségével lehet kiegészíteni az egyik, vagy a másik paralelogrammára.

Ha   nincs a   szakaszon, akkor legyen az   és a   szakasz metszéspontja  .   és   távolságával párhuzamosokat húzunk  -hez, először  -n át, majd egészen addig, amíg túl nem lépjük a   egyenest. A kapott kis paralelogrammákat tovább daraboljuk egyik átlójuk behúzásával, mégpedig az  -ben levőkét a  -gyel, és az  -ben fekvőkét az  -vel párhuzamos átlójukkal. Ezzel a kis paralelogrammákat egybevágó háromszögekké vágtuk fel, az utolsó lépésben kapottakat kivéve, ahol is egy-egy, páronként egybevágó háromszög és trapéz keletkezik.

3. Minden téglalap átdarabolható olyan téglalappá, amelynek az egyik oldala adott. Az   téglalapot így daraboljuk át úgy, hogy egyik oldala   hosszú legyen:

Ha   rövidebb a téglalap kisebb oldalánál (most ez legyen  ), akkor a téglalapot az egyik oldalával párhuzamosan felcsíkozzuk, és a kapott kis téglalapokat egymás mellé tesszük.

Tegyük fel, hogy   hosszabb a téglalap rövidebb oldalánál. Ekkor van egy   és   pont a   egyenesen, hogy  . Ezért az   és az   olyan paralelogrammák, amelyeknek közös az alapja, és egyenlő a magassága, így 2. szerint átdarabolhatók egymásba, tehát   is átdarabolható az   oldalú,   alapú téglalappá, aminek a másik két csúcsa a   egyenesre esik.

4. A tétel bizonyítása. Az   és az   egyenlő területű sokszögeket háromszögekre vágjuk. 1. szerint ezeket a háromszögeket téglalapokká daraboljuk át, és a kapott téglalapokat 3. szerint adott   oldalhosszú téglalappá. Ezeket egymás mellé helyezve két egybevágó téglalapot kapunk, amik nyilván egymásba átdarabolhatók.

ÁltalánosításaSzerkesztés

A kérdés általánosabban is feltehető: átdarabolható-e két, egyenlő térfogatú poliéder egymásba? Ez Hilbert harmadik problémájaként vált ismertté. Max Dehn látta be először 1900-ban, hogy ez nincs így. Például egy kocka és egy gúla nem darabolható át egymásba, még akkor sem, ha térfogatuk megegyezik.

ForrásokSzerkesztés