C*-algebra

A matematikában a C*-algebra olyan Banach-algebra, mely el van látva egy, az adjungálás (konjugált transzponálás) tulajdonságaival rendelkező involúcióval.

A C*-algebrákat először a kvantummechanikában alkalmazták megfigyelhető mennyiségek algebráinak leírására, Werner Heisenberg munkája során. A formalizmust matematikailag magasabb szintre Pascual Jordan fejlesztette 1933 körül. Ezt követően a C*-algebrák egyik fontos alosztályával foglalkozott Neumann János, amiket azóta Neumann-algebráknak vagy W*-algebráknak hívunk. Végül a C*-algebrák absztrakt definícióját Israel Gelfandnak és Mark Naimarknak köszönhetjük.

A C*-algebrák fontos eszközei a lokálisan kompakt csoportok unitér reprezentációelméletének, továbbá a kvantummechanika algebrai módszerekkel való kifejezésének. Ezen módszer különösebb sikereket ért el olyan spinlánc-modellek tanulmányozásában és általánosításában, mint az AKLT-modell vagy a Majumdar-Ghosh-modell.

Alapismeretek és definíciók

Komplex asszociatív algebrának nevezünk egy olyan $A$ komplex vektorteret, melyen a szorzás $A\times A\to A,\,(X,Y)\mapsto XY$ asszociatív (átzárójelezhető) és bilineáris. Az algebra egységelemének nevezzük azt az egyedi $\mathbf {I} \in A$ nemnulla elemet, mely minden $X$-re teljesíti a következőt:

$A\mathbf {I} =\mathbf {I} A=A$.

Amennyiben az $A$ vektorteret az asszociatív algebra struktúrája mellett ellátjuk egy $\|.\|$ normával, amely szub-multiplikatív, tehát minden $X,Y\in A$ elemre teljesül:

$\|XY\|\leq \|X\|\|Y\|$,

egy normált algebrát kapunk. Ha ebben a normált algebrában minden Cauchy-sorozat konvergens (tehát $A$ teljes), az algebrát Banach-algebrának hívjuk. Amennyiben az algebra rendelkezik egységelemmel, további feltétel, hogy annak normája 1 legyen.

Egy $A$ Banach-algebrát egy $X\mapsto X^{*}$ leképezéssel (ahol $X\in A$) *-algebrának hívunk, amennyiben:

• A leképezés minden $X\in A$-re involutív:

$X^{**}=(X^{*})^{*}=X$,

• minden $X,Y\in A$-ra:

$(X+Y)^{*}=X^{*}+Y^{*}$

$(XY)^{*}=Y^{*}X^{*}$,

• továbbá minden komplex $\lambda \in \mathbb {C}$-ra:

$(\lambda X)^{*}={\overline {\lambda }}X^{*}.$

Egy *-algebrát akkor hívunk C*-algebrának, amennyiben a következő feltétel is teljesül:

$\|XX^{*}\|=\|X\|^{2},$

Egy C*-algebrák közötti $\pi :A\to B$ korlátos lineáris operátort *-homomorfizmusnak nevezünk, amennyiben a következők teljesülnek:

$\forall x,y\in A:\pi (x)\pi (y)=\pi (xy)\,$ és $\,\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}.$

Egy bijektív *-homomorfizmust C*-izomorfizmusnak hívunk, és amennyiben $A$ és $B$ C*-algebrák között létezik egy ilyen hozzárendelés, az algebrákat izomorfnak hívjuk.

Példák

Véges dimenziós C*-algebrák

A komplex $n\times n$ mátrixok algebrája ($\operatorname {M} (n,\mathbb {C} )$) egy C*-algebra, ha a mátrixokat komplex n-dimenziós vektorokon ható operátoroknak tekintjük és ellátjuk őket az $\|\cdot \|$ operátornormával. Ebben az esetben az involúció a konjugált transzponálás (adjungálás).

Operátorok C*-algebrái

Az egyik legismertebb példája a C*-algebráknak a ${\mathcal {H}}$ komplex Hilbert-téren definiált korlátos lineáris operátorok algebrája (${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$), amennyiben két további feltétel teljesül: ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ topológiai értelemben zárt a norma által indukált topológiában, és minden ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$-ba tartozó operátor adjungáltja is az algebához tartozik. A Gelfand-Naimark-tétel szerint minden C*-algebra *-izomorf ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ egy szubalgebrájával, megfelelő ${\mathcal {H}}$-ra.

Neumann-algebrák

A Neumann-algebrák, más néven W*-algebrák a C*-algebrák egy speciális alosztálya, melyek a gyenge operátor-topológia szerint zártak. A Sherman–Takeda-tétel szerint bármely C*-algebra duális terének duálisa egy W*-algebra.

Fizikai jelentősége

Kvantummechanikában lehetséges a fizikai rendszert egységelemmel rendelkező C*-algebrával leírni, melynek önadjungált (azaz olyan elemek, melyekre $X=X^{*}$ igaz) elemeit megfigyelhető mennyiségeknek tekintjük. A kvantumállapotot a C*-algebrán definiált pozitív lineáris funkcionál írja le, tehát egy olyan $\mathbb {C}$-lineáris $\varphi :A\to \mathbb {C}$, melyre $\varphi (X^{*}X)\geq 0$ teljesül minden $X\in A$-ra. Amennyiben a rendszer $\varphi$ állapotban van, adott $X$ mennyiség várható értéke $\varphi (X)$ lesz.

Források

• Arveson, W. (1976), An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0.
• Connes, Alain (1994), Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X, <https://archive.org/details/noncommutativege0000conn>. This book is widely regarded as a source of new research material, providing much supporting intuition, but it is difficult.
• Doran, Robert S. & Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8.
• Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3.
• Sakai, S. (1971), C*-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1.
• Segal, Irving (1947), "Irreducible representations of operator algebras", Bulletin of the American Mathematical Society 53 (2): 73–88, DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a C*-algebra című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.