Főmenü megnyitása

A fizikában, különösen a kvantummechanikában a kvantumállapot bármely állapot, amiben egy kvantummechanikai rendszer lehet. Egy teljesen meghatározott kvantumállapot állapotvektorral, hullámfüggvénnyel vagy kvantumszámok teljes készletével adható meg. Egy részlegesen ismert kvantumállapot, néhány rögzített kvantumszámmal, egy sűrűségfüggvény segítségével ábrázolható.

ÁllapottérSzerkesztés

A Hilbert-térSzerkesztés

Egy kvantummechanikai rendszer matematikai modellje rendszerint egy, a komplex számtest felett értelmezett   szeparábilis Hilbert-téren alapszik. Paul Dirac nyomán a Hilbert-tér elemeire (a kvantumállapotokra) az ún. braket-jelöléssel hivatkoznak:   jelöli a Hilbert-tér egy elemét. A Hilbert-tér vektortér, azaz értelmezve van rajta   leképezés (összeadás) és   leképezés (számmal való szorzás) az alábbi tulajdonságokkal: tetszőleges   és   esetén

az összeadás asszociatív:
 
az összeadás kommutatív:
 
létezik az összeadásra nézve neutrális   elem,[1] melyre
 
tetszőleges elemnek létezik   inverze az összeadásra nézve, azaz
 
a szorzás asszociatív, azaz
 
a szorzás a számok körében végzett összeadásra nézve disztributív, így
 
a szorzás az állapotok között végzett összeadásra nézve disztributív, azaz
 
az  -vel végzett szorzás szabálya
 

A Hilbert-téren a

 

leképezés hermitikus skalárszorzatot definiál az alábbi tulajdonságokkal: minden   és minden   esetén


 
 
 
 


ahol   a komplex konjugálást jelöli.[2] Mivel tetszőleges állapot önmagával vett skalárszorzata valós, nemnegatív szám,[3] így a skalárszorzat segítségével  -n norma definiálható:

 

Ez teljesíti a norma megszokott tulajdonságait. A kvantummechanika állapotvektorai legtöbbször egységre normáltak, azaz

 

így az állapotvektorok a   Hilbert-tér egységgömbjén helyezkednek el.[4] A Hilbert-tér a fenti normával teljes: benne tetszőleges Cauchy-konvergens sornak létezik határértéke. A szeparabilitási tulajdonság pedig biztosítja, hogy  -ban létezik megszámlálhatóan végtelen, mindenhol sűrű halmaz.

KovektorokSzerkesztés

A   Hilbert-tér komplex duálisa  , elemeit kovektoroknak nevezik. Braket-jelölésben ők a bra-vektorok:  . A két vektortípus közti matematikai különbség jobb megértéséhez hagyjuk el a braket-jelölést!   Hilbert-tér komplex duálisa  , a   Hilbert-térből  -be képező komplex-lineáris leképezések halmaza. Ez egy vektortér struktúrájával látható el. A hermitikus skalárszorzat egy szeszkilineáris, egyik változójában komplex, másik változójában konjugált lineáris leképezése  -nak  -be, jelöljük  -rel! Ekkor ha   a Hilbert-tér egy eleme, az

 

egy konjugált lineáris megfeleltetést[5] definiál   és   egyes elemei között. Az így megfeleltetett kovektort jelöli  . Ezek alapján pedig

 

BázisállapotokSzerkesztés

Mivel   szeparábilis, ezért benne minden teljes ortonormált halmaz (rendszer) vagy véges vagy megszámlálhatóan végtelen. A mindenhol sűrű halmaz lineáris burkának lezártja  -val egyenlő, így a mindenhol sűrű halmaz Schmidt-féle ortogonalizációjával egy teljes ortonormált rendszer állítható elő.[6] Teljes ortonormált rendszert szokás bázisnak, elemeiket bázisketeknek is nevezni.[7] Bármely   kvantumállapot kifejezhető bázisállapotok Fourier-soraként:[8]

 

ahol

 

emiatt

 

Most   a teljes ortonormált rendszer, míg   komplex számok a   állapot komponensei a   bázisra vonatkozóan.[9] A normálási feltétel miatt:

 

Fenti kifejtéssel egy komplex-lineáris izomorfizmus adható meg az állapottérként szolgáló   Hilbert-tér és  , illetve   között, ha a Hilbert-tér véges, illetve ha végtelen dimenziójú.[10] Az izomorfizmus függ  -beli bázis választásától. Mindenesetre ha a bázisválasztás megtörtént, akkor az izomorfizmus alakja:

 

ahol  , vagy  .

Operátorok és állapotokSzerkesztés

Egy  [11] operátor átlagértéke a   állapoton az

 

kifejezés. Azt mondják, hogy a   állapot sajátállapota az   operátornak, ha teljesül az

 

sajátértékegyenlet valamely   szám esetén. Ha ugyanazon   sajátértékhez több   sajátállapot is tartozik, akkor azt mondják, hogy az állapotok degeneráltak. Ha   és   lineáris operátorok kommutálnak, azaz ha

 

akkor mindig található olyan lineárisan független (és így a Schmidt-féle ortogonalizációs eljárással ortonormális rendszerré alakítható)   halmaza az állapotoknak, mely a két operátor közös sajátállapot-rendszere, azaz ha

 

akkor létezik olyan  , hogy

 

A fizikai mennyiségeket önadjungált (hermitikus) operátorok jelenítik meg. Hermitikus operátorok sajátértékei mindig valós számok, azaz ha   teljesül, akkor

 

valamint hermitikus operátorok várható értékei mindig valós számok:

 

A kvantumrendszerek leírásában kitüntetett szerepet játszik az ún. Hamilton-operátor, mely az adott rendszer energiájához tartozó önadjungált operátor. Ha valamely   sajátállapota a Hamilton-operátornak, akkor azt mondják, hogy   energiasajátállapot. A kvantummechanikai rendszerek, valamint az operátorok időfejlődését a Hamilton-operátor határozza meg: ha  , akkor időfejlődését a

 

egyenlet kormányozza.[12]

Unitér transzformációk és megfigyelőkSzerkesztés

Egy   leképezés unitér, ha adjungáltja megegyezik inverzével:

 

Unitér transzformációk izometrikusak, azaz szög- és távolságtartóak: tetszőleges   állapotok esetén

 

A Hilbert-tér unitér operátorok által megvalósított transzformációi ortogonális rendszert ortogonális rendszerbe, ortonormált rendszert ortonormált rendszerbe, teljes ortonormált rendszert teljes ortonormált rendszerbe transzformálnak.
Ha   operátorokat egymással az

 

kommutációs reláció köti össze, akkor a

 

transzformációk a kommutációs relációkat megtartják. A két transzformáció együttes elvégzése megtartja a   kifejezést is, ahol   tetszőleges kvantumállapotok:

 

Bázisállapotok egy   rendszerét szokás megfigyelőnek is nevezni. Két megfigyelő között a kapcsolatot egy unitér transzformáció biztosítja. Mivel a transzformációk nem változtatják meg az átlagértékeket, így az unitér transzformációk mindig a megfigyelők egyenértékűségét jelenítik meg a kvantumelméletben. Ha egy operátorra teljesül, hogy valamely   transzformációval kommutál, akkor az operátor alakja a két megfigyelő rendszerében ugyanaz, az operátor szimmetriája az   transzformáció.

Tiszta és kevert állapotokSzerkesztés

A statisztikus fizika kvantumrendszerekkel foglalkozó területei megkülönböztetnek ún. tiszta és kevert kvantumállapotokat. Ha a kvantumrendszer modellje a   Hilbert-téren alapszik, akkor tiszta állapoton mindig a Hilber-tér egy elemeiből képzett ekvivalenciaosztályokat értik: a Hilbert-tér két eleme akkor ekvivalens, ha egy egységnyi abszolút értékű komplex számmal[13] megszorozva az egyiket, a másik megkapható. Kevert kvantumállapot a   Hilbert-tér egy hermitikus, pozitív   operátora,[14] melyre teljesül a

 

egyenlőség. Ezt sűrűségmátrixnak, vagy sűrűségfüggvénynek, általánosan sűrűségoperátornak szokás nevezni.[15]
Ha  , akkor a

 

leképezés egy projektor, a Hilbert-tér egy operátora. A   hozzárendelés egy tiszta állapot, mint ekvivalenciaosztály elemein ugyanazt az értéket veszi fel, így az e formában előálló projektorok azonosíthatóak a tiszta állapotokkal.
A sűrűségoperátor egy   állapoton felvett

 

átlagértéke megadja annak a statisztikai valószínűségét, hogy a kvantumstatisztikai rendszer a   állapotban van. Egy   operátor kvantumstatisztikai átlagértéke a   sűrűségoperátorral leírt kevert állapoton

 

Példa kvantumrendszerreSzerkesztés

Feles spinű részecske mágneses térbenSzerkesztés

Az egyik legegyszerűbb példa kvantumrendszerre a homogén mágneses térbe helyezett   spinű részecske kvantummodellje. A Hilbert-téren ható Hamilton-operátor:

 

ahol   számok a homogén mágneses tér komponensei,   pedig a részecske mágneses momentumához tartozó hermitikus operátorok, melyeket a

 

alakban állnak elő, ahol az   operátorok a

 

kommutációs relációt elégítik ki. Az   operátorok a részecske spinoperátorai. Képezhető belőlük a

 

operátor, mely minden más spinoperátorral kommutál:

 

tehát   az   operátorok lineáris burkával kommutál, így Casimir-operátora annak. Ha   sajátállapota ennek az operátornak, akkor belátható, hogy

 

Az első sorban említett kvantumrendszer definíciója a következő:

A   Hilbert-tér és az azon értelmezett,   kommutációs relációkat kielégítő operátorok egy ábrázolása feles spinű részecskét ír le, ha a fentebb említett   szám értéke  .

Egy ilyen lehetséges ábrázolás a következő:  -nak   felel meg, amin a spinoperátorok ábrázolása:

 

ahol   mátrixok a Pauli-mátrixok:

 

A Pauli-mátrixok szorzási összefüggései, antikommutátorai és kommutátorai:

 
 
 

amiből kitűnik, hogy az   operátorok ábrázolásainak megfelelő mátrixok tényleg kielégítik a megfelelő kommutációs relációkat. Az   operátornak megfelelő mátrix:

 

aminek sajátállapotai:

 
 

melyek egyben   sajátállapotai is:

 

A   állapotok   teljes, ortonormált rendszert alkotnak, így tetszőleges   állapot kifejthető lineáris kombinációjaikként:

 

ahol a normálási feltétel miatt

 

JegyzetekSzerkesztés

  1. Ez nem tévesztendő össze a kvantumtérelmélet vákuumállapotával, melyet gyakorta szintén ez a szimbólum jelöl.
  2. Matematikai szövegekben a hermitikus skalárszorzat definíciója ettől egy kicsit eltér: a skalárszorzat első változójában lineáris, míg második változójában konjugált lineáris.
  3. Az a tény, hogy   valós szám, az első tulajdonságból következik és már a negyedik tulajdonság kirovásában is felhasználják.
  4. Szokás megkülönböztetni ún. kötött és szabad állapotokat. A kötött állapotok mindig normálhatóak, míg a szabad állapotok a Schrödinger-egyenlet olyan (általában koordinátabázisban vett) megoldásai, melyek nem tartoznak  -hoz. Az ilyen megoldások legtöbbször szórási folyamatokat írnak le.
  5. nem izomorfizmust
  6. Egy halmaz ortogonális, ha bármely elemének skalárszorzata bármely vele nem egyenlő elemmel eltűnik. Egy halmaz ortonormált, ha ortogonális és minden elemének normája  . Egy ortonormált halmaz teljes, ha nem valódi része más ortonormált rendszernek vagy ami ezzel egyenértékű, nincs olyan halmazon kívüli elem a Hilbert-térben, mely ortogonális lenne a teljes ortogonormált halmazra.
  7. Tetszőleges vektortérben bázisnak nevezik a lineárisan független vektoroknak egy olyan halmazát, melyek lineáris burka megegyezik a teljes vektortérrel. A Zorn-lemmából következik, hogy minden vektortérben van bázis. Véges dimenzióban egy teljes ortonormált rendszer mindig bázis, végtelen dimenzióban azonban ez nem mindig igaz: teljes ortonormált halmaz lineáris burkának lezártja adja vissza a teljes Hilbert-teret. Ugyanakkor sokszor szokás az irodalomban ezekre, mint bázisokra hivatkozni.
  8. Véges dimenziós Hilbert-tér esetében a szummázás csak véges számú indexre terjed ki.
  9. Ha   halmaz ortogonális, akkor   sor konvergens. Ha a halmaz ortonormált, akkor a   sor akkor és csakis akkor konvergens, ha   nemnegatív sor konvergens, emiatt   alakú sor mindig konvergens. A sor akkor állítja elő magát  -t, ha az ortonormált rendszer teljes. Ld. a Hilbert-terek elméletét
  10.   azon   sorozatok vektortere, melyekre   véges.
  11.   a Hilbert-térnek önmagára vett komplex lineáris leképezéseinek halmaza.
  12. Részletesebben lásd itt
  13. Az ún. fázistényezőről van szó.
  14. Egy   operátor akkor pozitív,ha   minden állapotra teljesül.
  15. A különböző elnevezések az operátor különböző Hilbert-tereken vett ábrázolásaiból adódnak: mátrixelméletben a sűrűségoperátornak egy mátrix, hullámmechanikában egy integráloperátor (melynek magját értik a függvény elnevezés alatt) feleltethető meg.

IrodalomSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés