Euklideszi reláció

Egy kétváltozós relációt akkor nevezünk euklideszi relációnak,[1] ha a relációk mindig egyfajta háromszöget alkotnak; ha egy elem relációban áll két másikkal, akkor azok is (valamilyen irányú) relációban kell álljanak egymással.

A szaggatott nyíl behúzása szükséges az euklidesziség eléréséhez

DefinícióSzerkesztés

Az   halmazon értelmezett   reláció euklideszi, ha bármely   esetén valahányszor   és   egyszerre teljesül, mindannyiszor   is teljesül.

Általában véve az elsőrendű logika nyelvén:

  euklideszi  
Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők.

– Eukleidész Elemek, i. m. 47. old.

PéldákSzerkesztés

  • az egyenesek párhuzamossága (mert ha az   egyenes párhuzamos az   egyenessel, az   egyenes pedig párhuzamos a   egyenessel, akkor az   egyenes szükségszerűen párhuzamos a   egyenessel is),
  • családban a (nem fél)testvér-reláció (mert a párhuzamossághoz hasonlóan, bár senki nem testvére magának, az ember testvérei testvérei egymásnak.)

Nem ilyen

  • az emberek között a „fölmenő rokona” reláció (mert pl. egy személy fölmenő rokona az unokájának és a lányának is, azonban az unokája nem felmenője a lányának).
  • a pozitív egész számok között az oszthatóság (mert pl.   osztja  -et és  -ot is, de   nem osztja  -ot),
  • az emberek között az „ismerik egymást” reláció (mert az ember nem minden ismerőse ismeri egymást).

További példák euklideszi relációkraSzerkesztés

Viszonya más relációkhozSzerkesztés

  • Egy reláció euklideszi tulajdonsága és tranzitivitása bár hasonlónak tűnik, önmagában egyik sem következik a másikból.
  • Egy szimmetrikus reláció már pontosan akkor euklideszi, ha tranzitív.
  • Egy reflexív reláció ha euklideszi is, akkor tranzitív és szimmetrikus is, azaz ekvivalenciareláció.

JegyzetekSzerkesztés

  1. A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi reláció, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).

ForrásokSzerkesztés

  • Eukleidész. Elemek, Első könyv 1. axióma. Gondolat (1983)