Függvénysorozatok konvergenciája

A valós analízisben függvénysorozaton olyan sorozatot értünk, melynek minden eleme egy valós függvény. A számsorozatokhoz hasonlóan értelmezhető függvénysorozatok konvergenciája is. Ennek két főbb változatát különböztetjük meg: a pontonkénti, illetve az egyenletes konvergenciát.

Pontonkénti konvergencia

Legyen az $f_{n}:X\to \mathbb {R}$ egy $X\,\!$ halmazon értelmezett függvénysorozat. Azt mondjuk, hogy $f_{n}\,\!$ pontonként konvergál az $f:X\to \mathbb {R}$ függvényhez, ha minden rögzített $x\in X$ számra

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$.

Jelölése: $\lim f_{n}=f$

Tehát az értelmezési tartomány minden $x\,\!$ pontjához definiálunk egy olyan számsorozatot, melynek $n\,\!$. eleme éppen az az érték, amit $f_{n}\,\!$ az $x\,\!$-hez rendel. Ha az összes ilyen sorozat konvergens lesz, akkor ezek határértéke kijelöli $f\,\!$-nek a különböző $x\,\!$-ekhez rendelt értékeit. Ekkor azt mondjuk, hogy $f_{n}\,\!$ pontonként konvergens, és limesze az $f\,\!$ függvény.

A pontonkénti konvergencia (az egyenletes konvergenciával ellentétben) kivezet a folytonos függvények köréből, azaz még csupa folytonos függvényből álló $f_{n}\,\!$ függvénysorozat esetén sem biztos, hogy azok limesze is folytonos lesz.

Példa

Legyen $f_{n}:\left[0,\,1\right]\to \mathbb {R} ,\,f_{n}(x)=x^{n}\!$. Az $x^{n}\,\!$ függvény folytonos a pozitív egész $n\,\!$-ekre, ezért $f_{n}\,\!$ elemei is azok. Mivel $x^{n}\,\!$ a 0-hoz tart $0\leq x<1$ esetén és 1-hez $x=1\,\!$ esetén, ezért

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}0\leq x<1\\1,&{\mbox{ha }}x=1\end{cases}}$.

Ez a függvény nyilván nem folytonos az 1 pontban.

Egyenletes konvergencia

Azt mondjuk, hogy egy $f_{n}:X\to \mathbb {R}$ függvénysorozat egyenletesen konvergál az $f:X\to \mathbb {R}$ függvényhez az $X\,\!$ halmazon, ha minden $\varepsilon >0$ számhoz létezik olyan $n_{0}\in \mathbb {N}$ küszöbindex, hogy tetszőleges $n\geq n_{0}$ esetén minden $x\in X$-re teljesül, hogy

$\left|f(x)-f_{n}(x)\right|<\varepsilon$.

Jelölése: $f_{n}\,\!$ $f\!$

Az egyenletes konvergencia már zárt a folytonos függvények halmazára nézve, azaz folytonos függvények limesze is folytonos.

Ha egy egy függvénysorozat egyenletesen tart $f\,\!$-hez, akkor pontonként is. Ez fordítva nem feltétlenül igaz. A különbség lényege, hogy adott $\varepsilon$ mellett az egyenletes konvergencia esetén minden $x\,\!$-hez egy közös, míg a pontonkénti konvergencia esetben $x\,\!$-enként különböző küszöbindex található.

Források

• Dancs István: Analízis I.