Hibaterjedés

A statisztikában hibaterjedésnek nevezik a származtatott mennyiségek hibájának az alapul szolgáló mennyiségek hibájától való függését, illetve magát a matematikai módszert, mellyel a származtatott mennyiségek hibáját becslik. A hibaterjedés figyelembe vétele a fizikában is gyakran használatos, ha például hibával terhelt mért mennyiségekből valamilyen összefüggés segítségével származtatott új mennyiség hibáját határozzák meg.

Egy adott $f(x)$ függvényen való hibaterjedés két változó esetén. A származtatott mennyiség $\sigma _{f}$ szórását alapvetően befolyásolja az $f(x)$ függvény deriváltja a változó középértéke helyén. A lineáris közelítés akkor jogos, ha a $f(x)$ (sárga) és a deriváltja (zöld szaggatott) nem térnek el egymástól számottevően a változó átlaga körüli $\sigma _{x}$ környezeten belül

Például ha egy, az Ohm-törvénynek engedelmeskedő áramköri rendszeren mérjük az $I$ átfolyó áramot, és annak $\Delta I$ bizonytalanságát, továbbá az első $U$ feszültséget, és annak $\Delta U$ bizonytalanságát, akkor az ellenállás meghatározására szolgáló ${\textstyle R=f(U,I)={\frac {U}{I}}}$ összefüggés és a hibaterjedés figyelembe vételével a származtatott ellenállás $\Delta R$ bizonytalansága jól közelíthető. Egyes esetekben, például $f=AB$ alakú összefüggés esetén $f$ hibája egzakt módon is kifejezhető, de általában sorfejtésen alapuló, lineáris közelítést alkalmaznak.

A hibaterjedés jellegét alapvetően az alábbiak határozzák meg:

• A kiinduló mennyiségek bizonytalanságának összefüggése illetve függetlensége befolyásolja a származtatott mennyiség hibájának számolását.
• A származtatott mennyiség kifejezését megadó $f$ összefüggés jellege befolyásolja, hogy mely mért mennyiségek hibája milyen mértékben járul hozzá a származtatott hibához.

Számolási módja

Lineáris kombináció esetén

A hibaterjedés matematikai jellemzése abban az esetben egyszerűbb, ha a származtatott változót megadó $f$ összefüggés a kiindulási változóknak lineáris kombinációja. Ezért ezzel az esettel külön érdemes foglalkozni. Legyen $\{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}$ m elemű halmaz minden eleme olyan függvény, mely $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ változók lineáris kombinációjaként áll elő $A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn}$ együtthatókkal, ahol $(k=1,\dots ,m)$, azaz:

$f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i}$, illetve mátrixjelöléssel: $\mathrm {f} =\mathrm {Ax}$

Legyen $\Sigma ^{x}\,$a kovarianciamátrix az alábbi jelölésekkel, ahol $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$:

$\Sigma ^{x}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{12}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathit {\Sigma }}_{1}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{12}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{13}^{x}&\cdots \\{\mathit {\Sigma }}_{12}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{2}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{23}^{x}&\cdots \\{\mathit {\Sigma }}_{13}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{23}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{3}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}$.

Az $f$ függvény $\Sigma ^{f}\,$ kovarianciamátrixa ezzel úgy adható meg, hogy:

${\mathit {\Sigma }}_{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{\ell }^{n}A_{ik}{\mathit {\Sigma }}_{k\ell }^{x}A_{j\ell }$, illetve mátrixjelöléssel: $\Sigma ^{f}=\mathrm {A} \Sigma ^{x}\mathrm {A} ^{\top }$.

A fenti általános összefüggés megengedi a változók közti korrelációt is. Ha azonban az $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ változók hibája egymástól független, a fenti összefüggés egyszerűbb alakba írható:

${\mathit {\Sigma }}_{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}{\mathit {\Sigma }}_{k}^{x}A_{jk}$,

ahol ${\mathit {\Sigma }}_{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}$ az v vektor k-adik elemének szórásnégyzete.

Skalárértékű $f$ függvényre ismét egyszerűbb összefüggést kapunk:

$f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}:f=\mathrm {a} x\,$,

$\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}{\mathit {\Sigma }}_{ij}^{x}a_{j}=\mathrm {a} \Sigma ^{x}\mathrm {a} ^{\top }$,

ahol a sorvektor. A $\sigma _{ij}$ kovarianciák kifejezhetők a szórásokkal és a megfelelő $\rho _{ij}\,$ Pearson-féle korrelációs együtthatóval: $\sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\,$, melyből következik a származtatott szórásnégyzet egy másik kifejezése:

$\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}$,

mely független változók esetén:

$\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.$

Még speciálisabb esetet képvisel a több, megegyező szórású változó egyenlő együtthatójú kombinációja esetén megadható

$\sigma _{f}={\sqrt {n}}a\sigma$.

Nemlineáris összefüggéseknél

Ha az f az x változók nemlineáris függvénye, akkor csak egyes esetekben adható meg pontos hibaszámítási formula, de általában például úgy közelíthető a származtatott mennyiség hibája, hogy az $f$ függvényt az alábbiak szerint lineáris tagig Taylor-sorba fejtjük:

$f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}$,

ahol $\partial f_{k}/\partial x_{i}$ az $f_{k}$ függvény $x_{i}$ szerinti parciális deriváltjának $x_{i}$ átlagánál felvett értékét jelöli. Mátrixjelöléssel:

$\mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,$

ahol $\mathrm {J}$ a Jacobi-mátrix. Mivel $f^{0}$ konstans, ezért nem járul hozzá $f$ hibájához. Ezzel tehát a lineáris kombinációra levezetett hibaterjedést kapjuk vissza azzal a különbséggel, hogy az $A_{ik},A_{jk}$ együtthatók helyébe a parciális deriváltak áltagnál felvett ${\textstyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$ értékei lépnek, így:

$\mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.$

Tehát a függvény Jacobi-matrixával fejezhető ki az $x_{i}$-k kovarianciamátrixának transzformációja.

Gauss-hibaterjedési formula

A mérnöki gyakorlatban és az alkalmazott kutatásban gyakran élnek azzal a közelítéssel a nemlineáris $f$ hibájának becslésére, hogy $x_{i}$ változók függetlenek. Ekkor ugyanis az alábbi, könnyen kezelhető hibaterjedési összefüggés írható fel:

$s_{f}\approx {\sqrt {\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)^{2}s_{x_{i}}^{2}}}$

ahol $s_{f}$ az $f$ szórása, $s_{x_{i}}$ pedig az $x_{i}$ szórása. Mivel a fenti összefüggés a sorfejtés lineáris tagjának megtartásán, a többi tag elhagyásán alapul, ezért a származtatott hiba mértékét csak közelíti. Általában azt mondhatjuk, hogy a közelítés elég jó, ha az $s_{x},s_{y},s_{z},\ldots$ szórások nem olyan nagyok, hogy az $f$ lineáris közelítése egy $s_{x},s_{y},s_{z},\ldots$ sugarú környezetében nem tér el számottevően $f$-től.

Gyakori példák

Az alábbi táblázat a $\sigma _{A},\sigma _{B}$ relatív szórásokkal és $\sigma _{AB}$ kovarianciával jellemzett $A,B$ valószínűségi változókra vonatkozó néhány egyszerű és tipikus összefüggés esetén levezetett hibaszámolást foglalja össze.

Összefüggés	Szórásnégyzet	Szórás
$f=aA\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}$	$\sigma _{f}=|a|\sigma _{A}$
$f=aA+bB\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}$
$f=aA-bB\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}$
$f=AB\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}$
$f={\frac {A}{B}}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}$
$f=aA^{b}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|$
$f=a\ln(bA)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|$
$f=a\log _{10}(A)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|$
$f=ae^{bA}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|f\left(b\sigma _{A}\right)\right|$
$f=a^{bA}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|f(b\ln(a)\sigma _{A})\right|$
$f=a\sin(bA)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=a\cos \left(bA\right)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=A^{B}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}$

Ha az $A,B$ változók függetlenek, azaz a korrelációs együtthatójuk nulla ($\rho _{AB}=0$) akkor $\sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}$ alapján a kovarianciájuk is nulla: $\sigma _{AB}=0$.

Függetlenségnél és az $f=AB$ összefüggés esetén a szórásnégyzet kifejezésére a Goodman-formula is alkalmazható:

$V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2})$,

melyből a származtatott mennyiség szórásnégyzete:

$\sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}$

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Propagation of uncertainty című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Szakkönyvek

• Szatmáry Zoltán. Mérések kiértékelése – Egyetemi jegyzet [archivált változat] (PDF), Budapest: BME TTK (2010). Hozzáférés ideje: 2017. augusztus 31. [archiválás ideje: 2016. március 27.] 

Tananyagok, ismeretterjesztő weblapok

• Error analysis (megoldott példák) (angol nyelven). http://lectureonline.cl.msu.edu. [2017. szeptember 8-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2017. szeptember 4.)
• A fizikai mérések hibája (Egyetemi laboratóriumi segédanyag) (PDF). Fizipédia. BME. (Hozzáférés: 2017. szeptember 4.)

Kapcsolódó szócikkek

• Mérési hiba
• Kovariancia