Főmenü megnyitása
Egy adott függvényen való hibaterjedés két változó esetén. A származtatott mennyiség szórását alapvetően befolyásolja az függvény deriváltja a változó középértéke helyén. A lineáris közelítés akkor jogos, ha a (sárga) és a deriváltja (zöld szaggatott) nem térnek el egymástól számottevően a változó átlaga körüli környezeten belül

A statisztikában hibaterjedésnek nevezik a származtatott mennyiségek hibájának az alapul szolgáló mennyiségek hibájától való függését, illetve magát a matematikai módszert, mellyel a származtatott mennyiségek hibáját becslik. A hibaterjedés figyelembe vétele a fizikában is gyakran használatos, ha például hibával terhelt mért mennyiségekből valamilyen összefüggés segítségével származtatott új mennyiség hibáját határozzák meg.

Például ha egy, az Ohm-törvénynek engedelmeskedő áramköri rendszeren mérjük az átfolyó áramot, és annak bizonytalanságát, továbbá az első feszültséget, és annak bizonytalanságát, akkor az ellenállás meghatározására szolgáló összefüggés és a hibaterjedés figyelembe vételével a származtatott ellenállás bizonytalansága jól közelíthető. Egyes esetekben, például alakú összefüggés esetén hibája egzakt módon is kifejezhető, de általában sorfejtésen alapuló, lineáris közelítést alkalmaznak.

A hibaterjedés jellegét alapvetően az alábbiak határozzák meg:

  • A kiinduló mennyiségek bizonytalanságának összefüggése illetve függetlensége befolyásolja a származtatott mennyiség hibájának számolását.
  • A származtatott mennyiség kifejezését megadó összefüggés jellege befolyásolja, hogy mely mért mennyiségek hibája milyen mértékben járul hozzá a származtatott hibához.

Tartalomjegyzék

Számolási módjaSzerkesztés

Lineáris kombináció eseténSzerkesztés

A hibaterjedés matematikai jellemzése abban az esetben egyszerűbb, ha a származtatott változót megadó   összefüggés a kiindulási változóknak lineáris kombinációja. Ezért ezzel az esettel külön érdemes foglalkozni. Legyen   m elemű halmaz minden eleme olyan függvény, mely   változók lineáris kombinációjaként áll elő   együtthatókkal, ahol  , azaz:

 , illetve mátrixjelöléssel:  

Legyen  a kovarianciamátrix az alábbi jelölésekkel, ahol  :

 .

Az   függvény   kovarianciamátrixa ezzel úgy adható meg, hogy:

 , illetve mátrixjelöléssel:  .

A fenti általános összefüggés megengedi a változók közti korrelációt is. Ha azonban az   változók hibája egymástól független, a fenti összefüggés egyszerűbb alakba írható:

 ,

ahol   az v vektor k-adik elemének szórásnégyzete.

Skalárértékű   függvényre ismét egyszerűbb összefüggést kapunk:

 ,
 ,

ahol a sorvektor. A   kovarianciák kifejezhetők a szórásokkal és a megfelelő   Pearson-féle korrelációs együtthatóval:  , melyből következik a származtatott szórásnégyzet egy másik kifejezése:

 ,

mely független változók esetén:

 

Még speciálisabb esetet képvisel a több, megegyező szórású változó egyenlő együtthatójú kombinációja esetén megadható

 .

Nemlineáris összefüggéseknélSzerkesztés

Ha az f az x változók nemlineáris függvénye, akkor csak egyes esetekben adható meg pontos hibaszámítási formula, de általában például úgy közelíthető a származtatott mennyiség hibája, hogy az   függvényt az alábbiak szerint lineáris tagig Taylor-sorba fejtjük:

 ,

ahol   az   függvény   szerinti parciális deriváltjának   átlagánál felvett értékét jelöli. Mátrixjelöléssel:

 

ahol   a Jacobi-mátrix. Mivel   konstans, ezért nem járul hozzá   hibájához. Ezzel tehát a lineáris kombinációra levezetett hibaterjedést kapjuk vissza azzal a különbséggel, hogy az   együtthatók helyébe a parciális deriváltak áltagnál felvett   értékei lépnek, így:[1]

 

Tehát a függvény Jacobi-matrixával fejezhető ki az  -k kovarianciamátrixának transzformációja.

Gauss-hibaterjedési formulaSzerkesztés

A mérnöki gyakorlatban és az alkalmazott kutatásban gyakran élnek azzal a közelítéssel a nemlineáris   hibájának becslésére, hogy   változók függetlenek. Ekkor ugyanis az alábbi, könnyen kezelhető hibaterjedési összefüggés írható fel:

 

ahol   az   szórása,   pedig az   szórása. Mivel a fenti összefüggés a sorfejtés lineáris tagjának megtartásán, a többi tag elhagyásán alapul, ezért a származtatott hiba mértékét csak közelíti. Általában azt mondhatjuk, hogy a közelítés elég jó, ha az   szórások nem olyan nagyok, hogy az   lineáris közelítése egy   sugarú környezetében nem tér el számottevően  -től.[2]

Gyakori példákSzerkesztés

Az alábbi táblázat a   relatív szórásokkal és   kovarianciával jellemzett   valószínűségi változókra vonatkozó néhány egyszerű és tipikus összefüggés esetén levezetett hibaszámolást foglalja össze.

Összefüggés Szórásnégyzet Szórás
     
     
     
   [3][4]  
   [5]  
     
   [6]  
   [6]  
   [7]  
     
     
     
     

Ha az   változók függetlenek, azaz a korrelációs együtthatójuk nulla ( ) akkor   alapján a kovarianciájuk is nulla:  .

Függetlenségnél és az   összefüggés esetén a szórásnégyzet kifejezésére a Goodman-formula is alkalmazható:[8]

 ,

melyből a származtatott mennyiség szórásnégyzete:

 

JegyzetekSzerkesztés

  1. Ochoa1,Benjamin; Belongie, Serge "Covariance Propagation for Guided Matching"
  2. Clifford, A. A.. Multivariate error analysis: a handbook of error propagation and calculation in many-parameter systems. John Wiley & Sons (1973). ISBN 0470160551 
  3. A Summary of Error Propagation. (Hozzáférés: 2016. április 4.)
  4. Propagation of Uncertainty through Mathematical Operations. (Hozzáférés: 2016. április 4.)
  5. Strategies for Variance Estimation. (Hozzáférés: 2013. január 18.)
  6. a b Harris, Daniel C. (2003), Quantitative chemical analysis (6th ed.), Macmillan, p. 56, ISBN 0-7167-4464-3, <https://books.google.com/books?id=csTsQr-v0d0C&pg=PA56>
  7. Error Propagation tutorial. Foothill College, 2009. október 9. (Hozzáférés: 2012. március 1.)
  8. Goodman, Leo (1960). „On the Exact Variance of Products”. Journal of the American Statistical Association 55 (292), 708–713. o. DOI:10.2307/2281592.  

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Propagation of uncertainty című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

ForrásokSzerkesztés

SzakkönyvekSzerkesztés

Tananyagok, ismeretterjesztő weblapokSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés