Főmenü megnyitása

Matematikai közepek

(Középérték szócikkből átirányítva)

A matematikában négy nevezetes középértéket különböztetünk meg: a harmonikus közép, a mértani közép, a számtani közép és a négyzetes közép. Az ezek közötti összefüggés: Természetesen létezik k-adik hatványközép, azaz bárhányadik hatványú közép. A számtani, harmonikus, és négyzetes közép is felfogható hatványközépként, rendre első, mínusz egyedik, és második.

Tartalomjegyzék

A harmonikus középSzerkesztés

Harmonikus középértéken a számok reciprokaiból számított számtani közép reciprokát értjük. A harmonikus közepet általában   betűvel jelöljük.

 

A mértani középSzerkesztés

Mértani vagy geometriai középértéken   szám szorzatának n-ed fokú gyökét értjük. Általában  -vel vagy  -mel jelöljük.

 

A számtani középSzerkesztés

Számtani vagy aritmetikai középértéken   darab szám átlagát, azaz a számok összegének  -ed részét értjük. A számtani közepet általában   betűvel jelöljük:

 

A négyzetes középSzerkesztés

Négyzetes középértéken   darab szám négyzetéből számított számtani közép négyzetgyökét értjük. A jele általában:  .

 

A közepek közötti összefüggésekSzerkesztés

 

ahol

 

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)Szerkesztés

A közepek „mértékei” megmutathatóak egy trapézban, ha a trapéz alapjainak középértékeit szeretnénk megmutatni.

Számtani középSzerkesztés

A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz az alapok számtani közepe hosszúságú.  
Az ábrán:  

BizonyításSzerkesztés


 
Az ábrán   a trapéz tulajdonságai miatt.   szakasz középvonal   háromszögben, ezért hossza:  , ugyanezért  . Tehát   hossza:  

Harmonikus középSzerkesztés

A trapéz átlóinak metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos szakasz hossza az alapok harmonikus közepe hosszúságú.  
Az ábrán:  

BizonyításSzerkesztés


 
Az ábrán   hasonló  -hez, mert megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak (A T-nél lévő szög csúcsszög, a másik kettő pedig a párhuzamosság miatt). A megfelelő oldalak aránya tehát:  , akkor  . Az   háromszögben alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételét:  . Innen:  . Ezt  -vel is elvégezve adódik:  .

Négyzetes középSzerkesztés

Ha a trapézt két ugyanakkora területű trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap négyzetes közepe hosszúságú.  
Az ábrán:  

BizonyításSzerkesztés


 
Az ábra úgy keletkezett, hogy a trapézt zsugorítottuk, pontosabban kivágtunk belőle egy   hosszúságú részt. Az ábrán lévő háromszögben felírom az oldalak arányát, melynek négyzete egyenlő a területek arányával, hisz a területek négyzetesen aránylanak egymáshoz. Tehát   és   háromszögekben az alapok aránya:  . A területek aránya:
 
Vagyis:
 
Innen:
 
Megvan a magasságok aránya, írjuk fel a két kisebb trapéz területének arányát is:
 
Azt állítjuk, hogy a két terület egyenlő lesz, ez pedig úgy következik be, ha arányuk 1. Ekkor:
 
 
 
 
 
Vagyis ha a két trapéz területe egyenlő, vagyis két egyenlő területű trapézra vágtuk, akkor a szakasz hossza:  .

Mértani középSzerkesztés

Ha a trapézt két hasonló trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap mértani közepe hosszúságú.  
Az ábrán:  

BizonyításSzerkesztés


Két négyszög akkor hasonló, ha megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, valamint a megfelelő oldalainak aránya is megegyezik. Két trapéz akkor hasonló, ha a megfelelő szögeik egyenlőek, valamint az alapjainak és magasságainak aránya megegyezik. Ha  , akkor  .
 
  Tehát a két kisebb trapéz alapjainak aránya  . A magasságok aránya:  . (x helyébe beírtuk a  -t) Tehát a két trapéz alapjainak és magasságainak aránya megegyezik, méghozzá szögeik is egyenlőek a trapéz tulajdonságainak köszönhetően. Ekkor a területek aránya:   (az előző bizonyításból). Vagyis   helyébe beírva  -t:   Így biztosan kijelenthetjük, hogy ha két hasonló trapézra vágtuk az eredetit, akkor a szakasz hossza  .

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)Szerkesztés

 
Az ábra magyarázata:   felezőpontja  , ami az   átmérőjű kör középpontja.   az  -ba állított merőleges és a kör metszéspontja.   a kör érintője, ahol   az érintési pont.  -ből a   egyenesre állított merőleges talppontja  .
Az ábrán szintén megjelennek a közepek, a következőképp: Ha   szakasz hossza  , illetve   szakaszé  , akkor   szakasz hossza   és   harmonikus közepe,   szakasz hossza   és   mértani közepe,   szakasz   és   számtani közepe és     és   négyzetes közepe.
 
 
 
 

BizonyításSzerkesztés

  •  -ről könnyen belátható, hogy   hosszú, hisz a   pont körre vonatkoztatott hatványa alapján  . Innen  .
  •   hosszát kiszámíthatjuk az   és   összegeként.  
  •   hosszát könnyedén kiszámíthatjuk Az   háromszögben a Pitagorasz-tétel segítségével.  , vagyis  
  •   hossza a   háromszögből Befogótétellel kiszámítható. A tétel szerint  . Innen  

Lásd mégSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés