Mellékosztály

A mellékosztály a matematika egyik ágának, a csoportelméletnek a fogalma. Ha adott egy csoport, ennek egy eleme valamint egy részcsoportja, akkor a részcsoport adott elem szerinti mellékosztálya azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek a részcsoport elemeinek az adott elemmel való szorzatából adódnak.

A közös részcsoporthoz de más-más elemhez tartozó mellékosztályok vagy egyenlők (azaz minden elemük közös) vagy diszjunktak (azaz nincs közös elemük). Számosságuk egyenlő a részcsoport rendjével (azaz a részcsoportba tartozó elemek halmazának számosságával). Ezekből következik, hogy a csoport elemei egy adott részcsoportra nézve mind pontosan egy-egy mellékosztályba tartoznak. Innen ered az osztály elnevezés.

Definíció

Legyen $G=(G,*)$, $H$ pedig $G$ részcsoportja, valamint $g$ egy $G$-beli elem:

$H\leq G\qquad g\in G$

Ekkor a $H$ részcsoportnak a $g$ szerinti jobb oldali mellékosztálya a következő halmaz:

$H*g=\{h*g\,|\,h\in H\}\subseteq G$

bal oldali mellékosztálya pedig:

$g*H=\{g*h\,|\,h\in H\}\subseteq G$

Ha a $*$ művelet kommutatív, akkor a két fogalom megegyezik, és elég egyszerűen mellékosztályról beszélni.

Tulajdonságok

Diszjunktság

Egy adott részcsoport ugyanolyan oldali, de különböző elem szerinti mellékosztályai vagy diszjunktak, vagy egyenlők:

$H\leq G\qquad f,g\in G$

$H*f\neq H*g\quad \Rightarrow \quad H*f\,\cap \,H*g=\emptyset$

Másképp megfogalmazva: ha van közös elemük, akkor minden elemük közös:

$(\exists x\in H*f:\quad x\in H*g)\quad \Rightarrow \quad (\forall y\in H*f:\quad y\in H*g)$

Bizonyítása az utóbbi megfogalmazást követve (a bizonyítás szimmetrikusan az ellenkező oldali mellékosztályokra is működik):

• Ha a két mellékosztálynak nincs közös eleme, akkor a két halmaz diszjunkt, tehát az állítás igaz.
• Ha van közös elemük, akkor az egyik ilyen közös elemet jelölje x. A mellékosztály definíciója szerint x tehát a következőképp írható:

$x=a*f,\qquad a\in H$, mert x benne van az f szerinti mellékosztályban

$x=b*g,\qquad b\in H$, mert x benne van a g szerinti mellékosztályban

• Ebből következik, hogy

$a*f=b*g\qquad /a^{-1}*()$, mindkét oldalt balról összeműveletezzük a inverzével.

$f=a^{-1}*b*g\qquad (1)\,$

• Legyen y egy tetszőleges $H*f$-beli elem. Ekkor a definíció szerint y a következőképp írható:

$y=c*f,\qquad c\in H$

ami az (1) egyenlet alapján:

$y=c\,*\,(a^{-1}*b*g)$

mivel a $H$ struktúra csoport, a $*$ művelet asszociatív:

$y=(c*a^{-1}*b)\,*\,g\qquad (2)$

• Legyen

$d=c*a^{-1}*b\,$

d biztosan eleme $H$-nak, hiszen $a,b,c$ elemei $H$-nak, a $H$ struktúra pedig csoport, tehát létezik inverz a halmazon belül, valamint a művelet zárt a halmazra. Így a (2) egyenlet:

$y=d*g,\qquad d\in H$

Ez a mellékosztály definíciója szerint azt jelenti, hogy

$y\in H*g$

• Ezzel be lett bizonyítva, hogy ha van közös elem, akkor bármely elem, ami benne van az f szerinti mellékosztályban, az a g szerintiben is benne van. A szimmetria miatt fordítva is igaz: bármely elem, ami benne van a g szerinti mellékosztályban, az az f szerintiben is benne van. Ez azt jelenti, hogy ha a két halmaz nem diszjunkt, akkor egymásnak kölcsönösen részhalmazai, tehát egyenlők. Ezt kellett bizonyítani.

Azonos számosság

Közös részcsoporthoz tartozó mellékosztályok számossága megegyezik a részcsoport rendjével:

$H\leq G,\quad \forall g\in G:\quad |H*g|=|g*H|=|H|$

Bizonyítása:

• Legyen $g\in G$ tetszőleges és

$\varphi :\,H\rightarrow H*g,\quad x\mapsto x*g$ egyértelmű hozzárendelés (függvény).

• Legyen $x,y\in H$.

Tegyük fel, hogy

$\varphi (x)=\varphi (y)\,$

Vagyis

$x*g=y*g\qquad /()*g^{-1}$, mivel csoportról van szó, létezik inverz.

$x=y\,$

• Tehát a függvényértékek csak akkor egyenlők, ha a változók is, valamint a képhalmaz egyben értékkészlet is a mellékosztály definíciója alapján. Ebből következik, hogy φ kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, azaz bijekció.
• Mivel $H$ és $H*g$ között létesíthető kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (a φ), a két halmaz számossága a számosság definíciója szerint egyenlő:

$|H*g|=|H|\,$

• A bizonyítás ugyanígy működik az ellenkező oldali mellékosztályokra is, tehát az állítás bizonyítása kész.

Lagrange tétele

A mellékosztályok fenti tulajdonságainak felhasználásával Lagrange tétele egyszerűen bizonyítható:

Tétel: Véges csoport minden részcsoportjának rendje osztja a csoport rendjét, azaz:

$\forall H\leq G:\quad |H|\,|\,|G|$

Bizonyítás:

• $H$ különböző mellékosztályai diszjunktak és azonos számú, $|H|$ darab elemet tartalmaznak.
• Minden $G$-beli $g$ elem benne van az egyik mellékosztályban:

például a $H*g$-ben, hiszen $e*g=g$, ahol $e$ a $H$ csoport egységeleme (ami megegyezik $G$ egységelemével).

• A teljes $G$ halmaz elemszáma egyenlő a különböző (tehát diszjunkt) mellékosztályok elemszámának összegével, hiszen átfedés nincs köztük de kitöltik a teljes halmazt. Ezeknek a mellékosztályoknak a számát $|G\,:\,H|$ jelöli (ennek neve a $H$ részcsoport indexe a $G$ csoportra), így:

$|G\,:\,H|\cdot |H|=|G|$

Vagyis

$|H|\,\,|\,\,|G|$

További információk

• Alice és Bob - 24. rész: Alice és Bob komolyabb fegyverekhez nyúl