Másodfokú függvény

Az egyváltozós másodfokú függvényt, más néven kvadratikus függvényt az elemi analízis területén belül olyan valós algebrai függvényként tartjuk számon, mely minden megfelelő -helyhez ezen hely négyzetértékét rendeli hozzá.

Általános tudnivalókSzerkesztés

Függvényképe parabola. Másodfokú egyenletek és főleg másodfokú egyenlőtlenségek megoldása során gyakran fordulnak elő a másodfokú algebrai kifejezésekhez (pl. másodfokú polinomokhoz) tartozó függvények definíciói és alaptulajdonságai. Egy   alakú másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározásához két utat lehet végigjárni: meg lehet oldani az egyenletet grafikus és numerikus úton is.

Grafikus megoldás során felírjuk az egyenletben szereplő másodfokú polinomot, mint függvényt:

 ,  

melyet teljes négyzetté alakítás után egyszerűen ábrázolhatunk:

 .

 
Különböző diszkriminánsú másodfokú függvények (itt Δ jelöli a diszkriminánst):
<0: x²+12
=0: −43x²+43x13
>0: ³⁄2x²+12x43

Zérushelyek számaSzerkesztés

Az ábrázolást követően észrevehető, hogy a függvénynek van-e zérushelye (azaz metszéspontja az abszcissza tengellyel). Amennyiben a zérushelyek egyértelműen leolvashatók, akkor a gyököket már meg is kaptuk, ha azonban nem látható a pontos zérushely, akkor kénytelenek vagyunk az egyenletet numerikus úton is megoldani. A zérushelyek száma a másodfokú függvény zérusra redukált másodfokú egyenletének diszkriminánsából ( ) következik ( ):

  • ha  , akkor 2 zérushelye van a függvénynek és 2 valós gyöke van a belőle felállítható egyenletnek;
  • ha  , akkor 1 zérushelye van a másodfokú függvénynek (mert grafikonja csak érinti az abszcissza tengelyt) és ezzel egyidejűleg 1 valós gyöke van a függvényből felállítható egyenletnek;
  • ha  , akkor nincs zérushelye a függvénynek, mert nem metszi és nem érinti az x tengelyt, ezért nincs valós gyöke az egyenletnek.

Az alapfüggvény jellemzéseSzerkesztés

A másodfokú függvény ( ) alapfüggvényének általános jellemzése:

  • Értelmezési tartomány:  
  • Értékkészlet:  
  • Szélsőértékek (extrémumok):
    • xmin = 0;
    • ymin = 0;
    • xmax = ∅;
    • ymax = ∅.
  • Zérushelyek:  
  • Monotonitás:
    •   szigorúan monoton csökkenő az   nyílt intervallumon;
    •   szigorúan monoton növekvő az   nyílt intervallumon.
  • Paritás: páros függvény.
  • Korlátosság: alulról korlátos.
  • Előjeles alakulás:
    •   (vagyis   pozitív) az   tartományban;
    •  , ha  
    •   (vagyis   negatív) az   tartományban (tehát az alapfüggvény sehol sem negatív).
  • Folytonosság: a folytonosság fennáll.
  • Inflexiós pont(ok):

f ''(x0) = 0. A fenti egyenlet megoldása során ellentmondást kapunk, mivel 2 ≠ 0, így kijelenthető, hogy a függvénynek nincs inflexiós pontja.

  • Konvexitás: az inflexiós pont következménye, hogy a függvény konvex az értelmezési tartomány egészén.
  • Deriváltjai:
    •  .
    •  .
    •  .

A másodfokú függvények analízise általánosítvaSzerkesztés

  • Extrémumok (lokális szélsőértékek definiálása): ha a négyzetes tag együtthatója ( ) pozitív, úgy a függvénynek lokális minimuma van, ha   negatív, akkor a függvény maximummal rendelkezik.
  • Zérushelyek:
    • száma a diszkriminánstól függ (lásd Zérushelyek száma alfejezet)
    • ha a függvénynek vannak zérushelyei, azokat az   képlet adja meg (lásd a Másodfokú egyenlet szócikket).
  • Paritás:
    • Ha az ordinátatengelyre szimmetrikus a grafikon, akkor páros: ez másodfokú függvénynél akkor és csak akkor fordulhat elő, ha  .
    • A függvény páratlan paritása kizárt.
    • Ha aszimmetrikus, akkor nyilván nem páros és nem páratlan.
  • Korlátosság: a függvény lokális szélsőértékeivel hozható összefüggésbe: ha a függvénynek minimuma van: alulról korlátos; ha maximuma van: felülről korlátos.
  • Előjeles alakulás:

Ahol a függvény grafikonja az   tengely alatt helyezkedik el, ott negatív, ahol felette, ott pozitív értékeket vesz fel.

  • Monotonitás:

A függvény szigorú monotonitását azon az   nyílt intervallumon értelmezzük, ahol az intervallum egyik szélsőértéke a  ; másik pedig maga a lokális szélsőérték abszcissza tengelyről leolvasható helye.

  • Folytonosság:

A másodfokú elemi függvény mindig folytonos (amennyiben nem rendelkezik hézagponttal és nincs ezzel járó szakadása).

  • Inflexiós pont(ok) és derivált:

Egyetlen másodfokú függvénynek sincs inflexiós pontja sehol sem, mivel a hatványfüggvényekre vonatkozó   deriválási szabály szerint az n=2 másodfokú függvény deriváltja mindig konstans, mely ellentmondást eredményez az f"(x)=0 egyenlet megoldása során.

  • Konvexitás:

A függvény az értelmezési tartomány egészén konvex vagy konkáv annak függvényében, hogy a másodfokú tag együtthatója pozitív vagy negatív.

ForrásokSzerkesztés

A Wikimédia Commons tartalmaz Másodfokú függvény témájú médiaállományokat.
  • Hajnal, Imre.szerk.: Fekete Gyula: Matematika a speciális matematika I. osztálya számára, Kőváry Károly, dr. Szendrei János, dr. Urbán János. ISBN 978-963-19-0525-0 
  • Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 1., Thomas-féle Kalkulus I., 3-4. (magyar nyelven), Typotex: Budapest (2006). ISBN 978 963 2790 114