A matematikában a MacLaurin-egyenlőtlenség, amit Colin Maclaurinről neveztek el, a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségnek egy finomítása. Legyenek
pozitív valós számok, az
átlag pedig:
, ahol
.
Ennek a törtnek a számlálója az
változók k-ad rendű elemi szimmetrikus polinomja, azaz az
számok közül k-nak az összes szorzatából képezett összeg, ahol az indexek növekvő sorrendben vannak. A tört nevezője a számlálóban levő összeg tagjainak száma, vagyis (n,k) binomiális együtthatója.
MacLaurin egyenlőtlensége kijelenti, hogy a következő egyenlőtlenségek lánca igaz:
![{\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \ldots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a362d425d0f2d64ca2ec52b0acf97862651619)
Az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az összes
egyenlő.
n=2-re megkapjuk két szám számtani és mértani középarányosának közismert egyenlőtlenségét.
n=4-re:
![{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94505dfa50b3e81eb32d85dee1615c9037b6fe1)
MacLaurin egyenlőtlensége Newton egyenlőtlenségeinek felhasználásával bizonyítható.