MacLaurin-egyenlőtlenség

A matematikában a MacLaurin-egyenlőtlenség, amit Colin Maclaurinről neveztek el, a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségnek egy finomítása. Legyenek $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ pozitív valós számok, az $S_{k}$ átlag pedig:

$S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}$, ahol $k=1,2,\dots ,n$.

Ennek a törtnek a számlálója az $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ változók k-ad rendű elemi szimmetrikus polinomja, azaz az $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ számok közül k-nak az összes szorzatából képezett összeg, ahol az indexek növekvő sorrendben vannak. A tört nevezője a számlálóban levő összeg tagjainak száma, vagyis (n,k) binomiális együtthatója.

MacLaurin egyenlőtlensége kijelenti, hogy a következő egyenlőtlenségek lánca igaz:

$S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \ldots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}$

Az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az összes $a_{i}$ egyenlő.

n=2-re megkapjuk két szám számtani és mértani középarányosának közismert egyenlőtlenségét.

n=4-re:

${\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.$

MacLaurin egyenlőtlensége Newton egyenlőtlenségeinek felhasználásával bizonyítható.

Kapcsolódó szócikkek

• Newton-egyenlőtlenségek
• Muirhead-egyenlőtlenség
• Szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség