Főmenü megnyitása

Meromorf függvények

(Meromorf függvény szócikkből átirányítva)

A meromorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy komplex függvény meromorf a komplex sík egy D nyílt halmazán, ha itt minden szingularitása izolált pólus. (Az elnevezés az ógörög „meros” (μέρος), magyarul rész, szóból ered, arra utalva, hogy a függvény nem differenciálható a teljes halmazon, csak egy részén.

Minden D-n meromorf f függvény kifejezhető két (D-n) holomorf függvény hányadosaként: (ahol h nem konstans 0), ekkor h gyökei éppen f pólusai lesznek. Mivel h holomorf, ezért ekkor csak izolált pontokban veheti fel a nulla értéket.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   nemüres nyílt halmaz,   az izolált pólusok halmaza.

 

komplex függvény meromorf (a D halmazon) ha f holomorf a D \ P halmazon.

Riemann-felületeken a definíció hasonló: Legyen   nyílt részhalmaz  -ben.   meromorf az   halmazon, ha   nyílt, és:

  •   holomorf.
  •   izolált pontokból áll.
  • minden   pontra  .

Az   halmaz az   függvény pólusait tartalmazza. Az   halmazon meromorf függvények halmazát   jelöli. Ha   összefüggő, akkor ez egy test, amiben a holomorf függvények integritási tartományt alkotnak. Ha   komplex részhalmaz, akkor visszajutunk a komplex definícióhoz.

Nem kompakt Riemann-felületeken a meromorf függvények éppen a holomorfak hányadosai. Kompakt Riemann-felületeken csak konstans holomorf függvények vannak, nem konstans meromorf függvények lehetnek. Az elliptikus görbéken értelmezett meromorf függvényeket elliptikus függvényeknek nevezik.

PéldákSzerkesztés

 
A gamma-függvény meromorf a teljes komplex síkon
  • Polinomfüggvények hányadosai, azaz a racionális függvények meromorfak a komplex síkon. Racionális függvény például az alábbi hozzárendelés:
 
  • Meromorf a gamma-függvény is a teljes komplex síkon.
  • A Riemann-féle zéta függvény is meromorf a teljes komplex síkon.
  • Meromorfak a teljes komplex síkon alábbi hozzárendelések is:
 
 

EllenpéldákSzerkesztés

Az

 
függvény, bár az origón kívül mindenhol értelmezve van, nem meromorf a komplex síkon, mivel a 0-beli szingularitása nem pólus, hanem lényeges szingularitás. Viszont meromorf (mivel holomorf) a   halmazon.
  • Ehhez hasonlóan az
 
függvénynek minden   alakú pontban szingularitása van, de nem meromorf  -n, mivel a 0-beli szingularitása megszüntethető szingularitás:  , tehát nem pólus.
  • A komplex logaritmusnak
 

nincs a teljes komplex síkon meromorf ága, mivel nem definiálható úgy, hogy csak izolált pontokat zárunk ki az értelmezési tartományból.

  • Az   függvény nem meromorf, mivel   a pólusok torlódási pontja, ezért nem izolált szingularitás.

TulajdonságokSzerkesztés

Mivel a meromorf függvény pólusai izoláltak, legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok lehet belőlük. Számosságuk azonban nem feltétlenül véges. Az alábbi példában f megszámlálhatóan végtelen sok pólussal rendelkezik:

 

Többváltozós esetSzerkesztés

Többváltozós esetben a holomorf függvények hányadosaként definiálják a meromorf függvényeket. Például   meromorf a kétdimenziós komplex affin téren. Itt már nem igaz, hogy a meromorf függvények holomorf függvénynek tekinthetők a pólusokon kívül, aminek értékei a Riemann-gömbből veszi fel; van egy két kodimenziós határozatlansági halmaz; a példában ez egy pont, a  .

Magasabb dimenziókban vannak komplex sokaságok, ahol nincsenek nem konstans meromorf függvények. Ilyenek például a komplex tóruszok.

IrodalomSzerkesztés