Multilineáris leképezés
A lineáris algebrában és kapcsolódó területeken a multilineáris leképezés a lineáris leképezés általánosítása. A multilineáris leképezés egy fontos példája a determináns.
Definíció
szerkesztésLegyen egységelemes kommutatív gyűrű, és legyenek és minden -re modulusok az gyűrű fölött. Ekkor egy leképezés multilineáris, ha minden változójában lineáris. Pontosabban, ha egész szám, akkor egy leképezés -multilineáris, ha:
- ,
ahol az parciális leképezésre:
és az -ből -be menő lineáris leképezések halmaza.
Ha , akkor -multilineáris formáról beszélünk.
Az -ből -be menő -lineáris leképezések halmazát jelöli. Ha minden -re, akkor és végülé .
Példák
szerkesztés- A lineáris leképezések 1-multilineáris leképezések.
- Ha , akkor egyedül a null-leképezés az egyedüli lineáris leképezés, ami -lineáris. Ugyanis , amiből . A linearitás miatt , ha valamelyik változója .
- A bilineáris leképezések 2-lineáris leképezések.
- Az vegyes szorzat -ben 3-lineáris leképezés, vagyis .
- Egy testben vagy gyűrűben a szorzás 2-lineáris leképezés.
- A vektoriális és a skalárszorzás 2-lineáris leképezés.
- Egy n-dimenziós vektortérben a determináns n-multilineáris leképezés.
Tulajdonságok
szerkesztésAz permutációinak szimmetrikus csoportja definiál egy műveletet -en,
ami egy -lineáris leképezés változóinak permutációi. Ekkor egy leképezés
- szimmetrikus, ha minden esetén
- antiszimmetrikus, ha minden permutációra, ahol a permutáció előjele.
- alternáló, ha , valahányszor két változója megegyezik.
Megfordítva, a szimmetrizáló:
és az antiszimmetrizáló
- ,
ahol tetszőleges multilineáris leképezés szimmetrikusan vagy antiszimmetrikusan működik. Egyes szerzők itt osztanak -ral, hogy ezek az operátorok idempotensek legyenek, de ez véges karakterisztikájú testek esetén nem mindig működik.
Könnyen megmutatható, hogy az alternáló leképezések antiszimmetrikusak, míg egy antiszimmetrikus leképezés alternáló, ha , különben pedig szimmetrikus.
Például a vektoriális szorzat és a vegyes szorzat antiszimmetrikus leképezések.
A determinánsformák például alternáló multilineáris leképezések (definíció szerint).
Alkalmazás
szerkesztésMultilineáris leképezésekkel definiálhatók univerzális tenzorszorzatok: Minden mulitilineáris leképezéshez van pontosan egy homomorfizmus úgy, hogy a következő diagram kommutatív legyen:
Forrás
szerkesztésFordítás
szerkesztésEz a szócikk részben vagy egészben a Multilineare Abbildung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.