Parabolikus hengerkoordináta-rendszer

A parabolikus hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer a matematikában. A kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszerből származtatható, melyet egy harmadik, annak síkjára merőleges harmadik koordinátával egészít ki. Így koordinátafelületei konfokális parabolikus hengerek. Több alkalmazásuk is van, például az élek potenciálelméletében.

A parabolikus hengerkoordináta-rendszer koordinátafelületei. A piros parabolikus henger megfelel a σ=2 koordinátának, míg a sárga parabolikus henger a τ=1 értékhez tartozik. A kék sík a z=2 síkja. Ezek a felületek a P pontban metszik egymást, melynek Descartes-koordinátái (2, -1.5, 2)

Definíciók

Parabolikus koordináta-rendszer konstans σ és τ koordinátagörbékkel és az x és y irányú koordinátaegyenesekkel. Ezeket a koordinátákat a z-tengely irányából vetítve látjuk, így ez a diagram a z koordináta bármely értékére érvényes

A (σ, τ, z) parabolikus hengerkoordináták transzformációja (x, y, z) Descartes-féle koordináta-rendszerbe:

${\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}$

A konstans σ-jú koordinátafelületek konfokális parabolikus hengerek:

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

melyek az y-tengely pozitív irányába nyitottak. A konstans τ-jú koordinátafelületek szintén konfokális parabolikus hengerek:

$2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$

melyek az y-tengely negatív irányába nyitottak. Mindezen parabolikus hengerek fókuszegyenese az x = y = 0 egyenes. Az r sugár képlete is egyszerű:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)$

ami hasznos a parabolikus koordináta-rendszerben adott Hamilton–Jacobi-egyenlet megoldásában. Lásd még: Laplace–Runge–Lenz-vektor.

Skálázási tényezők

A σ és a τ parabolikus hengerkoordináták skálázási tényezői:

${\begin{aligned}h_{\sigma }&=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{aligned}}$

Differenciálelemek

Az infinitezimális térfogatelem:

$dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}d\sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz$

A differenciális áthelyezés:

$d\mathbf {l} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+dz\,\mathbf {\hat {z}}$

A differenciális normálterület:

$d\mathbf {S} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}}$

Differenciáloperátorok

Legyen f skalármező! Ekkor:

$\nabla f={\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}}$

és a Laplace-operátor:

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

Legyen A vektormező, melynek alakja:

$\mathbf {A} =A_{\sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}}$

Ekkor a divergencia:

$\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }) \over \partial \sigma }+{\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }) \over \partial \tau }\right)+{\partial A_{z} \over \partial z}$

és a rotáció:

$\nabla \times \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial A_{\tau }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma }}}-\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial A_{\sigma }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }\right)}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }\right)}{\partial \tau }}\right)\mathbf {\hat {z}}$

A további differenciáloperátorok kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Kapcsolat más koordináta-rendszerekkel

Kapcsolat a (ρ, φ, z) hengerkoordinátákkal:

${\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}$

A parabolikus hengerkoordináta-rendszer egységvektorai kifejezve a Descartes-koordináta-rendszer egységvektoraival:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}$

Harmonikus függvények

Mivel az összes konstans σ, τ és z értékhez tartozó felület másodfokú felület, Laplace egyenlete szétválasztható a koordináta-rendszerben. A változók szétválasztásával Laplace egyenlete a következő alakba írható:

$V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)$

Osztva V-vel:

${\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0$

Mivel a Z egyenlet elválasztható a többitől, azért:

${\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}$

ahol m konstans. A Z(z) megoldása:

$Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}$

Behelyettesítve −m²-et ${\ddot {Z}}/Z$-be, Laplace egyenlete a következő alakot ölti:

$\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})$

Most leválaszthatjuk az S és a T függvényeket, és bevezetünk egy újabb konstanst, n²-et. Nyerjük, hogy:

${\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0$

${\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0$

Így kapjuk a parabolikus henger harmonikusokat:

$S_{mn}(\sigma )=A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})$

$T_{mn}(\tau )=A_{5}y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})$

Az (m, n) harmonikus függvényei a megoldások szorzatai. A kombináció csökkenti a konstansok számát, és Laplace egyenletének megoldása írható, mint:

$V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}$

Alkalmazások

A parabolikus hengerkoordináta-rendszer klasszikus alkalmazása parciális differenciálegyenletek megoldása, például Laplace egyenletének és a Helmholtz-egyenletnek megoldásában, mivel így a differenciálegyenletek szétválaszthatókká válnak. Egy példa egy félig végtelen vékony vezető lemez elektromos mezeje.

Források

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 658. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X 
• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 186–187. o. (1956) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 181. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 96. o. (1967) 
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Moon P, Spencer DE. Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 21–24 (Table 1.04). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 
• MathWorld description of parabolic cylindrical coordinates

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Parabolic cylindrical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.