Skalárszorzat által indukált norma
Egy skalárszorzat által indukált norma, skalárszorzatos norma, röviden skalárszorzatnorma a matematikában egy olyan norma, mely számítható skalárszorzatból. Véges dimenziós valós vagy komplex skalárszorzatos vektorterekben ez éppen az euklideszi norma. Általában minden prehilberttérben van skalárszorzatból származó norma, amivel a prehilberttér normált tér. Egy norma pontosan akkor származik skalárszorzatból, hogyha teljesíti a paralelogrammaszabályt. Emellett a skalárszorzatból származó normák teljesítik a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget, és invariánsak az unitér transzformációkra.
Definíció
szerkesztésHa vektortér a valós vagy komplex számok teste felett, ellátva a skalárszorzattal, akkor skalárszorzatos vektortér. Ekkor egy vektor normája:
- ,
vagyis a vektor önmagával vett skalárszorzatának négyzetgyöke. Ezzel a norma jóldefiniált, mivel a vektorok önmagukkal vett skalárszorzata valós és nemnegatív.
Ezzel a normával normált tér; sőt, a norma által indukált metrikával metrikus tér, és a normatopológiával topologikus tér
Példák
szerkesztésFontos példák a következők:
- Véges dimenziós vektorterekben az euklideszi norma
- Az ℓ2 négyzetesen összegezhető sorozatterekben az ℓ2-norma
- Az L2 négyzetesen integrálható függvények terében az L2-norma
- A Hs Szoboljev-térben a Szoboljev-norma
- A Frobenius-norma a mátrixok terén
- A Hilbert–Schmidt-operátorok terén a Hilbert–Schmidt-norma
Tulajdonságai
szerkesztésA skalárszorzat által indukált leképezés norma, tehát teljesíti a definitséget, az abszolút homogenitást és a háromszög-egyenlőtlenséget.
Normaaxiómák
szerkesztésA három normaaxióma a definitség, az abszolút homogenitás és a háromszög-egyenlőtlenség.
A definitség következik a négyzetgyökvonás nullhelyének egyértelműségéből minden vektorra:
- ,
az abszolút homogenitás és esetén:
és a háromszög-egyenlőtlenség minden -re a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből:
ahol a komplex szám valós része, és a két utolsó lépésben négyzetgyököt kell vonni.
Paralelogrammaszabály
szerkesztésA skalárszorzatból származó norma teljesíti a paralelogrammaszabályt:
minden vektorra. Megfordítva a Jordan–Neumann-tétel szerint, ha egy norma teljesíti a paralelogrammaszabályt, akkor van skalárszorzat, ami indukálja. A skalárszorzat a polarizációs képlettel számítható, valós esetben:
- .
Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség
szerkesztésA skalárszorzatból származó norma teljesíti a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget:
- ,
ahol az egyenlőség pontosan azt jelenti, hogy a , lineárisan összefüggnek. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből azonnan adódik, hogy:
- ,
amiből két valós vektor közötti szög meghatározható:
Eszerint a szög mindig -be esik, vagyis és közé. Komplex vektorok szögére különböző definíciók vannak, köztük olyanok is, melyeknél a szög mindig valós.[1]
- ↑ Klaus Scharnhorst. Angles in complex vector spaces, 95–103. o. (2001. július 26.)